K, rdedrg 6 由于d是微小的,可以取sa2-2,cn21,代入上式,化简,各项同除以ra8 d,賂去高阶徽量,得 +K,=0 将六面体上所受各力投影到六面体中心C的周向轴上,列出周向平衡方程 de dr cos gedr cos dri(r+dr)do- dr/ a dr sia。+ Kordedr=0 利用sa 10 d6 --, Cos ≈1;和剪应力互等定理,将上式化简,各项除以 rder 略去高阶微量,得 还有一个力矩平衡方程,由此方程将得出r=τa又一次证明射应力互等定裡。这样,极坐 标中的平衡微分方程是 loτ9;-a K,=0 r de 1da。.drr62 K=0 这两个微分方程,包含三个未知函数σ,σp,τ,a=τa,是↑静不定问甄。为了求解还必须 虑变形关系。 极坐标中的几何方程和物理方程 在极坐标中,用,代表径向正应变,E代表周向正应变,Y,代表径向与周向两线段之间 的直角改变即剪应变,代表径向位移,D代表周向位移。 在推导几何方程的过程中,由于是小变形,可以不计高阶微量,且可用叠加原理。 首先,假没只有径向移没有馬向位移,如图1-9(a)所示。由于径向位移n,径向 绂段PA(=dr)移到P'A′。周肉线段PB(=rd移到P'B'。P,AB三点的位移分别为 PP=",A4=+ad,BB="+。40
a)仅有径向位移 6)仅有周向位移 图1-9极坐标中的位移 径南线段PA的正应变为 PA-PA AA'-PP 周向线段PB的正应变为 P/B-PB (r u)do-rde u PB 径向线段PA的转角为 鬧向线段PB的转角为 BB-PP′ 剪应变为 其次,假设只有周向位移而没有径向位移,如图1-9(6)所示。由于周向位移,径向 段P移到P"4”,周向线段PB移到P”B”,而P,A,B三点的位移分别为 PP=U,A4=U+."r, BB=U 径润线段PA的正应变为
周向线段PB的正应变 B-PB 径向线段PA的转角为 AAN-P A 周向线段PB的转角为 剪应变为 当一般情况下,径向和周向都有位移时,可将(a),(b),()式和(d),(e),(∫)式分别相 加起来,就得到极坐标中的几何方程 1~24 由于极坐标和直角坐标一样,也是正交坐标所以极坐标的物理方程和直角坐标的物理方 程具有同样的形式,只是角码x和y分别改摸为r和。据此,在平面应力情况下,物理方程 为 (p-4a) E 在平面应变的情况下,将(125)式中的E协1-2’换为 物理方程为
2(1+P) 、极坐标中的应力函数与相容方程 和在直角坐标中推导相似,当体力可以不计时,平衡微分方程(1-23)的通解可以用极 坐标的应力函数甲(r,)表示成为 2+12 (1-27) arde (1-27)式必须满足以应力表示的福容方程。在极坐标中以应力表示的相容方程也和在直角 坐标中一样,可由极坐标的几何方程、物理方程和平衡微分方程导出,但推导过程极其繁瑣, 在这里不直接推导,而用直角坐标中的相容方程经坐标变换得到 直角坐标中的相容方程为 a' d'\a dx*。y3八ax2 (1-19) 极坐标与直角坐标之间的关系为 由此得 图1-10直角坐标和极坐标的关系 因为是r和0的函数,同时也是x和y的函数。所以
cost da ax d +99押 =sine十 ar dy d9 ay a s8 鳕复以上运算,得 甲=(c6-1mem0rmin q darde I +2dp singcos0 di sin dp sia8cose ap cose a sinBcos0 d cosa 将上两式相加起来,得到 代入(1-19)式,得到极坐标中的相容方程为 乎 1-28) 用极坐杬求解平面问题时,若体力可以不计,就只需从(1-28)式求解应力函数q(r, 0),将(,0)代入(1-27)式求出应力分量。当然这些应力分量在边界上应当满足应力边界条 件。在多连体中,这些应力分量还需满足位移单值条件。 1-3-2平面轴对称问题 在平面问题中,如果它的几河形状、约柬情况以及所承受的外载都对称于某一轴Z,则 所有的应力分量、应变分量和们移分量也必然是对称Z轴,也就是这些分量仅是径向坐标 r的函数,而与0无关。这类问题称做平面轴时称问题 在轴对称问题中,应力函数只是径向坐标r的函散,即 在此浒况下,(1-27)式筒化为