等式右边拍弧中的表达式就是Yy。所以 a y2 dx (1-9) 这个关系式称为相容方程或变形协调方程。若任选函数En、E、Y而不满足这个方程, 则将此任选的Y,代入几何方程(1-2)中,由其中的任意两式例如、。,=0y 京出的位移分量,将不满足(1-2)式中的第三式Y…”0x"y。这说明变形以后的物 体不能保持连续而发生某些部分互相脱离或互相侵入的情况。只有当x,"y,Y满足(1-9) 式,变形才能协调 利吊物理方程将(1-9)式中的应变分量消去,使相容方程中只包含应力分量,然后 和平衡方程联立,就能解出应力分量了。 例如对于平面应力问题,将物理方程(1-5)代入(1-9)式得到只包含应力分量的 相方 0″(a。-Pay)+ (y-F0,)=2(1+" (1-10) 将(1-10)式和平衡方程(1-1)联立就可解出应力分量。 (1-10)式还可筒化为更简单的形式:将平衡方程(1-1)写成 将前一式对x求导,后一式对y求导,然后相加,并注意ryx=y,得 dt*y do, day ax aY ax ayz (1-11) 将(1-:1)式代入(!-10)式,化简得 aX (1-12)式是平面应力问题以应力表示的相方程。 毛于平面应变以应力表示的相容方程,只要在(112)式中将换为1-航可得到 其方望为 d' d dx aY y(o+,) (1-:3
此用应力解法求解平面问题时,对于平面应力问题,利用平衡方程(1-1)和以应方表 示的相容方程(1-12)脫可解出应力分量σ,σy,rxy。当然它们应当满足应力边界条件。 对平面应变问题,利用平衡方程(I-1)和相容方程(1-13)解出应力分量,这些应力 分量当然也应满足应力边界条件。 当所研究的问题中体力是常景时,例如重力和平行移动的惯性力,这时9X。 零,则以应力表示的相客方程(1-12)和(1-3)可化成以下相同的形式 (0,+y)=0 (!-14) (x+0y)=0 式中V=2d “:称做拉拉斯运算子 由此可见,在体积力是常量的情况下,平衡方棍(1-1),相容方程(1-14)以及应 力边界条件都不包含弹性常数,而且两种平面问题的方程都是相同的。因此,若两个弹性体 具有相同的边界形状,受到同样分布的外力,那就不管这两个弹性体的材料是否相同,也不 管它们是平面应力问题或亚面应变问题,应力分量x,ay,r的分布是相同的(但σ,应变 分量和位移分量不一定相同)。这一结论为用实验方法测定平面问题的应力堤供了极大的方 便,可以用便测量的材料制造模型代替不便于测量的材料,用薄板模型代倖长柱形模型。 1-2-5应力函数 综上所述,在体力为常量的情况下,按应力求解平面问题时,归结为求解下列的微分方 程式 1- +Y=0 (a,+uy)=0 平衡方程(!-1)是非齐次微分方程组,它的解答包括两部分,即方程(1-1)的仨 特解和齐次方程 的通解之和。 特解很容易找到。例如可以取下列形式的待解 Yy, Ty=0 1-16 将(1-16)式代入是能满足(1-1)式的
为了求齐次方程(1-15)的通解,可将(1-15)式改写为 由微分方程理论可知:若存在 aP(x, y) ag (s, y 。甽表达式pP(x,y)dx+q(x,y) dy必是某x,y函数的全分。因此。(a)式指出了表达式,dy一可ydx是以A(x,y)表 示的某函数的全微分。于是 dA(x, y) t 同样,(b)式指出了表达式dx-τydy是某函数B(x,y)的全微分。且 较(c)式和(d式,可得到 dA(x, y) iB dy (e) 由(e)式也指出表达式B(x,y)dx+A(x,y)dy是某函数q(x,y)的全微分。并且 (f) 将(c),(d)式代入(∫)式,就得到(1-15)式的通解 将通解和特解叠加,即得微分方程(1-1)的全解 Yy 21
不论甲是什么样的函数,应力分量(1-18)式总能满足平衡微分方程(1-1),函数称 做平面问题的应力函数。应力分量〔1-18)式除必须满足平衡微分方程外,还应满足变形 协凋条件。将(118)式代入相容方程(1-14)式 注意X,Y为常量,可见上式中后一括弧中的XxYy并不起作用,可以删去。上式变为 d2乎 展开为 d'o 也可筒写为 P2P=0 (1-21) 这就是用应力函数9表示的相容方程。由此可见,应力函数应当是重调和函数。 如果体力可以不计,则X=Y=0。(1-18)式简化为 a 1-22) dxdy 因此,用应力解法求解平面问题时,如果体力是常量,就只须由微分方程(1-20)解 出应力函q,然后用(1-18)式求出应力分量。在此,问题归结于求解一个方程式(1 0),这是很大的简化。但是在求解具体问题时,寻求满足(1-20)式的应力函数甲并不困 难,丽要它格的满足边界条件却是很国难的。 方程(1-20)是偏微分方程,它的通解不能写成有限项数的形式,因此,在具体求解 问题时,只能采用逆解法或半逆解法。 所谓逆卿法,是先假设各种形式的满足 相容方程(!-20)的应力函数甲,月(1 18)式算出应力分量。然后根据应力边界条 件来考察在各种形状的弹性体上,这些应力 分量对应于什么样的面力,从而得知所设定 的应力函数以解决什么问题。 例如议应力函数甲=dy2,其中d为任意 图1-7矩形梁受纯弯曲 常馭。不论d取何值,总能满足相容方程(1-20)式。若不计体力(1-22)式求出对应的应 力分量为 0 0 当弹性的形状为矩形板,且坐标的取法如图1-7所示。若在板内发生上述应力时,则此矩 形板上下两边应没有画力,左右两边应没有直面力,有按直线变化的水平面力。而每一边 上的水平面力合成为一个力偶。因此,应力函数甲=dy能解决矩形梁愛纯弯曲问題。 所谓半逆解法,是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设鄙分
或全部应力分量为某种形式的函数,从而推出应力函数学,然后来考察这个应力函数是否满 足相容方程,以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量是否满足应 力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然就得出正确的解答,如果某一方 面不能满足,就要另作假设,露新考虑。 第三节弹性力学平面问题的极坐标解答 上一节讨论的所有结论都是采用直角坐标。但是有些弹性体,例如圆形、楔形、扇形等 形状的物体,采用极坐标较为方便。本节讨论用极坐标解答平面问题 1-3-1极坐标中的基本方程 极坐材中的平衡微分方程 在极坐标中,平面内任一点的位置用径向坐标r和周向(或环向)坐标0来表示。从所考 察的薄板或长柱形体中在任意点上沿r和9方向取出微小六面体,六面体沿r的长度为dr,沿周 向的夹角为de,沿z方向为一个单位长度。在六面体上作用的内力如图1-8所示。沿r方向 的正应力称做径向正应力,沿θ向的正应力σ称做周向或环向正应力:剪应力闬τ-、τ 表示,根据剪应力互等定理,t=『。各应力分量的正负号规定和直角坐标中一祥,只是 「方代膂了x方向,θ方向代替了y方向。图中所示的应力分量都是正的。图中K,K代表 六面体的体力分量。 d? 图1-8极坐标中微体受力图 与直角坐标相似,由于应力随坐标和0变化,PB面上的应力为,、τn,AD面上的应力 为 dr,n+d;PA面上的应力为o,r,BD面上的、 将六面体所受各力投影到六面体中心C的径向轴上列出径向平衡方程 2Fr=0 dr(r+ dr)d0-a rdo+[tor+-deldr c 23