(1-28) (18)式篚化为 (m+1=0 将它展开 d'o 2d 1 d' 1 do dr4 I dr r2 dri r d 这是一个四阶变系数常微分方程,它的通解是 乎=AIar+Br11nr+Cr2+D 式巾A、B、C、D是任意常数。 将(1-31)式代入(1-29)式,得到应力分量 A 0,=+B(E+2lnr)+2C + B(S+ 2lar)+2c (1-32) 0 现在来考察轴对称情况下的应变分量和位移分量。 对平面应力问题,将应力分量(1-32)式代入物想方程(1-25)式得 (1+)+(1-3P)B+2B(1-)1nr+2(1-B)C (1-33) =B[-(1+0)2+(3-)B+2B(-)1ar+2(4-)c roe 0 在轴对称清况下,位移u=u(r),U=0,代入几何方程(1-24)式,得 d (1-34) 将(1-33)式代入(1-34)的第一式,并对r积分得 -1+=-(1P)7+(1-3)Br+2B(1-(4x-)x+2-Pc+F 29
将(1-33)式代人(1-3!)的第二式,得 H=r=E-(1+)x+(3-P)Br+2B(1-pn+2(p)Cr 勺了使"的两个表达式一致,也就是淌尼位移单值条件,必须使式中的B=0,F=0。将B 0,F=0的条件代入(-32),(!-33),(1-34)式,由此得出轴对称平面应力情况下的 应力分量、应变分量和位移分量的表达式 +2C Er=-(1+H)-+2(!-p)C〕 2(1-P)C〕 〔-(1+)+2(!-)Cr〕 (1-37) 对于轴对称平面应变问题,只要将应变分量(1-36),位移分量(1-37)式巾的E换为 E 换为1-p就可得到平面应变的全部方程,方程中的积分常数A、C由边界条件 确定, 1-3-3解法举例 、沿径问承受均布压力的环板 如图1-11所示。设环板的内半径为R外半 径为R,沿径向任意处的半径为r。环板内圆受 均布压力P,外圆受均布压力p 这是一个轴对称平面应力问题。环板内、外 边界上所受的面力(即内、外压)为已知,且环 板的边界垂直于坐标轴r,因此,应力分量的边 界值就等于对立的面力分趾。所以应力边界条件 e 为 将这些条件,代入(1-35) 图1-11承受径向压力的环板图
求解这两个方程,得 A R。2(P。-P;) 夕;-Rnp 将(1-38)式代入(1-35)、(1-36)、(1-37)各式中,得环板的应力、应变和位移分量为 RiP:-RPo RRo(Po-Pi r2(Ra-R;2) I-39) RiPi-Ro Po R, Ro(Po- Pi Ro-R e,=(-)2ip,R。2P +(1+p) Ri Ro(Po-Pi) (1-40) R。P--( 1+H 圆孔的孔边应力集中 若受力的弹性体具有小孔,则孔边的应力远大于无孔时的应力,也远大于距孔稍远处的 应力,这种现象称做孔边应力集中 孔边应力增大的倍数与孔的形状有关,在各种形状的开孔中,圆孔孔边的应力集中程度 最低。因此,如果必须在件中开孔,应当尽可能开园孔。如果不可能开圆孔也应当采芹近 似于囫形的孔 孔边应力集中是局部现象,在几倍孔径以外,应力几乎不受孔的影响,应力的分布情况 以及数值大小都几乎与无孔时相同,一般讲,应力集中的程度越高,集中现象越是局鄙性 4↑平 图1-12孔边应力集中求解图 31
只有冽孔孔边的应月可以较简单的数学工具进行分析。下面分析几砷不同求况下 圆孔孔边的应力中问。 !,矩形薄板,在离开边缘远外,有半径为α汋小阙孔,薄板四边受均布拉力,强庶为 q。见阻:-!2(a)。 坐标原点取在圓孔的中心,坐标轴平行于边界。就直边的边界条件而论,宜用直角坐标, 就国孔的边界条件而论,用极坐标。因为这里主要是考家圆孔附近的应力,所以用积 求解。首先特直边变换为圆边。为此,以远大于a的某一长度b为半径,以坐标原点为圆心 作一个大鬨,如图:-12(a)中虚线所示。由于应力集中的局部性,在大圆周外,例如A点,应 力情况与无孔时祖同,也就恳在A点沿x轴、y轴和大瑚周切线方向取小单元体,在小单元你 两个垂直而上的应力分别为,(=9),τx(=0)和,(=q),τ=0);与!周相切算 面上的应力为可τ,见图1-12(6)。列出小单元体沿斜截面法线和切线方向的静力平蔼方 程,整痉滔,得 cos2+τ sin2e 将,=q,σ=,τ:=0,代入(1-42)式。可求出 在大圆周上的任一点鄱能得到σ,=q,τ=0的结果。因此,问题变为求内半径为,外半 径为b的环板在外边界上受均布拉力q韵应力分布 为∫得到这个新问题的解答,只需环板受内、外压力时的应力表达式(1-39)中,令P= 0,p。=-9,R;=a,R。=b,于是得 q 因为6远大于a,可以近似取=0,从而符到解答 (1-43) 2。矩形薄板,在离开边緣较远处有一半径为a的小孔。薄扳左有受均布拉力,上下受
布压力强度都为q:见图1-3。 行与上述相同的处理与分析:在大圆上 任一点A的应力情况与无孔时相同,即0=q,0,= 9,=0。代入(1-42)式,得到与大囫周 相切的斜截面上的应力 ac 这也是环板的外边界条件 环板内边界即孔边的边界条件为 图1.13孔边应力集中求解图 0 由环板的内、外边界条件可见,当采用半逆解法时,可以假设σ为r的某一函数乘以cos20, 为r的另一函数乘以sin20。由(1-27)式 /1d 可见,应力函数9对6两次微分得a表达式中和0有关的一项,q对6一次微分得t。因此可以 假设应力函数平为 将(c)式代入相容方程(i-8)式,得 cos20/d'/(7)2 9df(r):9d∫(r) d r' drar dr 由此 df(r)2 df(r) 9 d'(r)9 df(r) 这是一个四阶的常微分方程,它的解为 ∫(r)=Ar4+B (d) 式中A、B、C、D是积分常数,由边界条件决定。将(d)式代入()式,应力函数为 26(Ar4+Br2+C+) 代入(1-27)式,得到应力分量 4C 6D 6D ag= cos2012Ar3+2B+ Tv≈sin266Ar32+2B- 6D