位长度的薄片,在薄片上沿坐标轴方向取出一微小正六面体,正六面体在x,y方向的受力情况 和平面应力问题是完全相同的,不同的是平面应变问题在方向还作用有正应力,但a:是自 成平衡的,所以平面应变的正六面体受力图也如图1-4所示。 图1-4所示的正六面体可列出三个静力平衡方程 x轴力的平衡方程EF=0 1 约筒以后,两边同除以dxdy,得 X=0 沿y轴力的平衡方程EFy=0 dy 约简以后,两边同除以dxdy,得 最后还有一个力矩平衡方程,将正六面体上所有的力对中心c点取力矩∑M=0,可以 得到xxy=ry再次证明了剪应力互等定律 在建立以上平衡方程时,采用弹性体变形前的尺寸,这是因为讨论的是小变形问题,物 体受力后所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,这样用变形前的尺寸来代替变形后的 尺寸,不会引起显著的误差,而方程却得到简化,在以后建立任何平衡方程时,都将同样处 理。 于是平面问题中的平衡微分方程为 (1-1) 两个微分方程包含三个未知量:0,、、t=τy所以是静不定问题,必须考虑变形关系, 才能解出未知量。 、几何方程 现在来推导平面阿题中应变分量和位移分量间的关系式。在图1-2所示薄板或在图1 所示的薄片上的任意点P,沿x轴、y轴取微小长度PA=dx,PB=dy。假设薄板或薄
片受力后,P、A、B分别移动到P、A、 B′。P点移动到P点的位移分量为,U。A点 辆坐标比P点有一增量dx,所以A点移动到4′° 点的位移分量为"+ B点的纵坐标比P点有一增量dy,所以B点移 动到B′点的位移分量为 由于P′A'的倾斜角a和P'B′的斜角B很 1-5在直角坐标中的位移 小。所以PA的正应变为 P/4'-PA +、-dx1+dx PB的正应变,为 U P′B dydy +dy- Ey= PA,PB之间的直角变化即剪应变γ:为 Yxy=a+B≈tga+t 8e d'e B'f U dy U十 tdy- 于是,平面问题中的几何方程为 -2 三、物理方程 在完全弹性的各向同性体内,应力分量和应变分量之间的关系根据虎克定律可写出
+4) 1-3) ) Yxy Gy Yy,cya YI gra 式中E是弹性模量,G是剪切弹性模量,H是泊松比,这三个弹性常数之间有如下关系 E 在平面应力问题中,可2=0,τr=0,τ2x=0。将它们代入(1-3)式,得到平面 应力的物理方程为 (,py) 此外,(1-3)式中的第三式成为 可以用来求薄板厚度的变化。 在平面应变问题中,τ,=0,r1=0,E,=0。将它们代入(1-3)式,得 y-H(0 将上面的第三式代入第一式和第二式,经整瑚得到平面应变问题的物理方程为
2(1+H) 比较(1-5),(1-6)式可见两种平面问题的物理方程在形式上是相似的,仅系数不 同。如果在平面应力的物理方程(1-5)中将E换为一E。换为“。就得到平面应变 问题的物理方程(1-6)。 以上导出的2个平衡微分方程(1-1)式,3个几何方程(1-2)式和3个物理方程 1-5)或(1-6)式,是弹性力学平面问题的8个基本方程。这8个基本方程式中包含 个未知函数:3个应力分量叮,、,、【3个应变分量、cy、Y2个位移分量、U。 基本方程的数目和未知函数的数目相等,在适当的边界条件下是能得到解答的。 1-2-3平面问题的边界条件 平面问题的边界条件有三种 位移边界条件 若弹性体在边界上给定位移分量a、U,它们是边界坐标的已知函数。作为基本方程解 位移分量"、初则是坐标的待求函数,当代入边界坐标时,必须等于该点的给定位移,即要 (1-7) (1-7)式就是位移边界条件 应力边界条件 若弹性体在边界上给定表面力分量又、Y,它们是边界坐标的已知函数。作为基本方程 解的应力分量口、0、τ则是坐标的待求函数。在边界上,应力分量与给定表面力之间的 关系一即应力边界条件,可由边界上小单元体的平衡条件得出 在边界上取出小单元休,它的斜面AB与 物体的边界重合,如图1-6所示。用N代表 边界面AB的外法线方向,并命N的方向余弦 cos(N, x)=/ 若边界面AB的长度为d,则PA和PB的长度 分别为lds和md。垂直于图面的尺寸取为 个单位。作用在边界上的已知面力沿坐标轴的 分量为x、F。 6应力边界条件 由平衡条件EF,=0,得 Xd-,d-t,那dx+x2d项d
各项除以ds,并令d趋于零,则得 式中(a,)(r)s是应力分量的边界值。 同样,由平衡条件EFy=0,得 于是得到物体边界上各点的应力分量与面力分量之间的关系式,即平面河的应力边界祭 当边界1直于某一坐标轴时,应力边界条件的形式将大为简化:在垂直于x轴的边界 值为常噎,【=土1,m=0,应力边界条件简化为 Y 在垂直于y轴的边界上,y值为常量,l=0,m=±1,应力边界条件简化为 ()s=Y,(ry)=X。 可见,在这种情况下,应力分量的边界值等于对应的面力分量。 混合边界条件 当物体的一部分边界具有已知位移,而另一部分边界具有已知面力时,则具有已知位移 的边界可应用(1-7)式,具你已知面力的边界可应用(1-8)式。此外,还可能在同 部分边界上出现混合边界条件,即两个边界条件中的一个是位移边界条件,另一个则是应力 边界条件。 1-2-4平面问题的解法 在弹性力学里求解未知的应力分量、应变分量和位移分量,有应力解法、位移解法和混 合解法等三种。 应力解法是以应力分量作为基本未知函数,综合运用平衡、几何和物理方程,得到只包 含应力分量的微分方程,由这些微分方程和边界条件求出应力分量,再用物型方程求出应交 分量,用几何方程求出位移分量。 位移解法是以位移分量作为基本未知函数,综合运用平衡、几何和物理方程,得到只 含位移分量微分方糧。由这些微分方程和边界条件求出位移分量,再由几何方程求出应变 分量,用物理方程求出应力分量。 混合解法是同时以某些位移分昼和某些应力分量为基本未知函數,综合运用平衡、几何 和物理方程,得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件 求出某些位移分量和某些应力分量,再利用适当的方程,求出其它的未知量 下面用应力解法求解平面问题 将平面问题的几何方程(1-2)中的对y求两次导数,对x求两次导数然后和加 aya ax ayi dx / axia andy ay dx