研质量为m的小球系在长度为R的细绳末端细绳的另一端固定在点A，将小球悬挂在空间。现小球在水平推力F的作用下，缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成α角的位置。求水平推力F所作的功（不考虑空气阻力)。解取如图所示的坐标系A小球受推力F、细绳的张力F和小球所受重力mg三个力始R终是平衡的,即deF2F + F + mg = 0dFhl其分量式为：xF0在x方向：F sinの=Fmg在y方向：Fcosθ=mg
6 θ F mg FT y x O ｛h l d 解 取如图所示的坐标系, F + FT + mg = 0 其分量式为: 在x方向 : FT sin = F 在y方向 : F cos = mg T A α R F 例1 质量为m的小球系在长度为R的细绳末端, 细绳 的另一端固定在点A, 将小球悬挂在空间。现小球在水 平推力 的作用下, 缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直 方向成角的位置。求水平推力 所作的功(不考虑空气 阻力)。 F F 小球受推力 、细绳的张力 和小球所受重力 三个力始 终是平衡的, 即 F mg FT dθ
J上两式相除得F = mg taneATNa取元位移dl，变力F所作的元功为RdodA= F.dl = Fcosd sFT1F= F cosORdoh(xF0偏转α角的过程中的总功为mgA =J dA= Jα FRcosOdo = JαmgR tanOcosOdo= mg RJα sin Odo = mg R(1 - cosα)
7 上两式相除得 F = mg tanθ 取元位移 l ，变力 所作的元功为 d F 偏转α角的过程中的总功为 A A FR mgR mg R mg R = = = = = − d d tan d d cos cos sin ( cos ). 0 0 0 1 F θR θ A F l F s cos d d d cos d = = = θ F mg FT y x O ｛h l d A α R F dθ
例2已知弹簧的劲度系数k=200N·m-1，若忽略弹簧的质量和摩擦力.求将弹簧压缩10cm，弹性力所作的功和外力所作的功y解：取如图所示的坐标系oxF=-kxi弹簧的弹力为在x处取元位移dx，弹力所作元功2WdA= F.dxi =-kxi.dxi =-kxdxx0x弹性力所作的总功为A =[ dA = Jo1-kx dx = -1.0 J外力所作的功为 A' = -A=1.0J
8 例2 已知弹簧的劲度系数k = 200Nm−1 , 若忽略弹簧 的质量和摩擦力,求将弹簧压缩10cm , 弹性力所作的功 和外力所作的功。 x O y x x O y 解：取如图所示的坐标系 弹簧的弹力为 F kxi = - 在x 处取元位移dx, 弹力所作元功 dA = F dxi = -k xi dxi = -k xdx 弹性力所作的总功为 A = dA = −kx dx = − J 0 0.1 1.0 外力所作的功为 A = −A = 1.0J
二、动能和动能定理7O质点由点P运动到点O，合力对质点所作的功为QA=-[F.dr=-ma.dr?Fdrdadr=odta三UpdtPda一QC2midoAdtmommo一O2P2dtD质点的动能(kineticenergy）定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半。用E;表示，即 E, =-mo2
9 二、动能和动能定理 P P v r d F Q Q v 质点由点P 运动到点Q，合力对质点所作的功为 质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与 其运动速率平方的乘积的一半。 用Ek表示，即 = = Q P Q P A F r ma r d d 2 2 2 1 2 1 d d d d P Q P Q Q P t m m m t A m v v v v v v = = = − , d d t a v = dr vdt = 2 k 2 1 E = mv
所以有A= Eko- Ekp动能定理：等于质点作用于质点的合力所作的功，动能的增量。扩展：所有外力和内力对物体系所作的功之和等于物体系总动能的增量。A>O，表示合力F对质点作正功Eko-Ekp>0，质点的动能增大;A<O，表示合力F对质点作负功，Eko-Ekp<O,质点的动能减小;所以说，功是质点能量改变的量度。10
10 A E Q E P 所以有 = k − k 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点 动能的增量。 A > 0 ，表示合力 F 对质点作正功， EkQ - EkP > 0 ，质点的动能增大； A < 0 ，表示合力 F 对质点作负功， EkQ - EkP < 0 ，质点的动能减小； 所以说，功是质点能量改变的量度。 扩展：所有外力和内力对物体系所作的功之和等 于物体系总动能的增量