《土质边坡稳定分析》教学资料（原理、方法、程序）第八章 边坡加固稳定分析

202土质边坡德定分析一原理·方法程序 静力平衡方程的解为 (8.8) 其中包含的变量代号与第2章相同,引入以下符号 a (8.9) E(x)=exp[- tany] Gm= Pr-pe(b) (8.11) 在对式(215积分时,式(227)的变换可由以下更具一般意义的推导表示 G(sin B-cos B tan a)x= IP()s()-P dedr IP(s)s()d4]+ p(x)s(x)r(x)dx+ P,dr (8.12) t(b)Gm+ p(x)s(x)r(x)dx+P, (b)=P[E(b)r(b)]+ p(x)s(x)r(x dx 在考虑滑动土体两端G不为零的情况时,式(222)右侧为 Snah,dx+[G cos B(y-y)=h,dx+P, h-hP 8(8.13) 故有 p(x)s(r)r(x)dr=M (8.14) Mm=P,h-P[h cos+1(b)E(b)F n 式中:P为待求的土压力;P为拉力缝中的水压力 P Pr=g(a) 8.23数值分析方法 将式(88)和式(814)合并可得 M ()=M-Ph+(P-g[ E(b)+(6)-nhdx=0 (8.18) 其中 (x)s(x)dx p(x)s(x)r(x)dx

202 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 静力平衡方程的解为 ∫ = b a p(x)s(x)dx Gm (8.8) 其中包含的变量代号与第 2 章相同 引入以下符号 ψ = φ ′ −α + β (8.9) d ( ) exp[ tan d ] d x a E x β ψ ζ ζ = −∫ (8.10) G P PE(b) m = w − (8.11) 在对式(2.15)积分时 式(2.27)的变换可由以下更具一般意义的推导表示 (sin cos tan )d [ ( ) ( ) ]d d [ ( ) ( )d ] ( ) ( ) ( )d d ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )d b bx w a aa b x bb w a aa a b b m w a a G x ps P t t p s pxsxtx x P t tbG pxsxt x x Ptb PEbtb pxsxt x x β β α ζζ ζ ζ ζζ − =− −   =− + +     =− + + = + ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ (8.12) 在考虑滑动土体两端 G 不为零的情况时 式(2.22)右侧为 ∫ ∫ + − = + − x a e w w x a x e t a h dx P h hP x W h dx G y y x W cos d d [ cos ( )] d d η β η δ (8.13) 故有 ( ) ( ) ( )d b m a pxsxtx x M= ∫ (8.14) d [ cos ( ) ( )]+ d d b m ww a W M Ph Ph tbEb h x x =− + δ η ∫ (8.15) 式中 P 为待求的土压力 Pw为拉力缝中的水压力 P = G(b) (8.16) P G(a) w = (8.17) 8. 2. 3 数值分析方法 将式(8.8)和式(8.14)合并可得 cos d ( ) ( )[ ( )] d 0 () d b n ww w e a h W M M Ph P G tb h x Eb x δ λ η =− + − + − = ∫ (8.18) 其中 ( ) ( )d b a G pxsx x = ∫ (8.19) ( ) ( ) ( )d b a M pxsxtx x = ∫ (8.20)

第8章边坡加固穗定分 203 求解式(88包含对一个未知量λ的迭代,获得了后可将其代入式(88)或式(8.14)解得P 迭代步骤如下 aM (8.21) 其中=0,1,2 两个迭代步骤λ值满足下式时则计算收敛结束 (8.2) 式中E为允许误差。 式(821)中的aMn/a按下式决定 aN,1-G)×{6+(6b)- Rbb-aiLl(by+(b)(823) G hcos 此式中oM/和∂G/D已在第2章给出,其它计算公式如下 R(b)=- cos,' sec secyE(x)dx+ t(x)sec"y d5+Da-(b)tanv6=,(8.25) D和Dn定义见第2章式(2171)和式(2.172),式(823)的推导可参见文献(李松梅,1997) 8.2.4合理性要求 和通用条分法类似,土压力的计算成果需要接受下列合理性条件的限制 (8.26) X 0<42<1 (8.27) y 式中符号定义参见第2.1节 在主动土压力领域,我们通常不再采用图2.1中对土条侧向力倾角的的假定1。因为如 果β假定为一个常数,那么在直立墙部位(x=b),β将突变为δ,显然是不合理的。因此,在 土压力领域,我们使用图21中所示第二种假定。并且要求在直立墙部位,有tanB=tan6 8.2.5库仑土压力计算公式 图88所示库仑土压力理论假定滑裂面为直线,仅使用静力平衡方程式求解,此时 da/dx=0,因此

第 8 章 边坡加固稳定分析 203 求解式(8.8)包含对一个未知量λ的迭代 获得了λ后可将其代入式(8.8)或式(8.14)解得 P 迭代步骤如下       ∂ ∂ − ∆ = + − = λ λ λ λ n n i i i M M 1 (8.21) 其中 i=0, 1, 2, … 两个迭代步骤λ值满足下式时则计算收敛结束 λ − λ < ε i+1 i (8.22) 式中ε为允许误差 式(8.21)中的∂M n / ∂λ 按下式决定       + ∂ ∂ −       + − × + − ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) ( ) cos ( )] ( ) ( ) ( ) cos ( ) [ t b E b G h t b Q b R b E b h P G M M w n δ λ δ λ λ (8.23) 此式中∂M / ∂λ 和∂G / ∂λ 已在第 2 章给出 其它计算公式如下 2 d d d ( ) sec d tan dd d b b i b a Qb D α β β ψξ ψ ξλ λ   = −+     ∫ (8.24) 1 2 d dd d ( ) cos sec sec ( ) d ( )sec d ( ) tan d dd d b b b ti b a a Rb E x x tx D tb β αβ β φ αψ ψ ξ ψ λ ξλ λ − =− + + − ′ ∫ ∫ (8.25) Di和 Dti定义见第 2 章式(2.171)和式(2.172) 式(8.23)的推导可参见文献 李松梅 1997 8. 2. 4 合理性要求 和通用条分法类似 土压力的计算成果需要接受下列合理性条件的限制 1 [ tan ( )] > ′ ′ + ′ − = X E c y z F av av v φ (8.26) 0 < ′ <1 Ac (8.27) y z y z A t c − ′ − ′ = (8.28) 式中符号定义参见第 2.1 节 在主动土压力领域 我们通常不再采用图 2.1 中对土条侧向力倾角β的假定 1 因为如 果β假定为一个常数 那么在直立墙部位(x=b) β将突变为δ 显然是不合理的 因此 在 土压力领域 我们使用图 2.1 中所示第二种假定 并且要求在直立墙部位 有 tanβ =tanδ 8. 2. 5 库仑土压力计算公式 图 8.8 所示库仑土压力理论假定滑裂面为直线 仅使用静力平衡方程式求解 此时 d /d 0 α x = 因此

204土质边坡穗定分析一原理·方法·程序 E(x)= s(x)=sec(φ-a+Ba) 代入式(88)可得 p(x)sec(o-a+Ba)dr= Pr-P cos(φ"-a+) (8.31) Ba) 因此计算库仑主动土压力的公式可简化为 P=Pcos(-a+B1)segp-a+6)-se-a+6)p(x 在无拉力缝时上式右端第一项为零,在有拉力缝时右端第一项中的B=0。以上的推导 是在假定滑裂面上c为常数的条件下进行的,也就是说,是按照如图88示经典的库仑理 论进行的。如果滑裂面通过不同的土层,那么图88示的图解法就无能为力了。需要使用 更具一般意义的式(88),而且要对土条侧向力的倾角作出假定,最简便的方法是令B在a 和b点(图810)分别为BG和δ,中间条块的β值按线性内插原则确定。在具有拉力缝时, Bn=0。无拉力缝时,B值宜按第2章讨论的原则,设为Bn=ya,y为a点坡面的倾角。 8.2.6临界滑裂面的确定 第4章讨论的确定临界滑裂面的方法可以不作修改用于求解主动土压力的问题。但是, 在主动土压力领域,目标函数不再是安全系数,而是土压力,临界滑裂面所相应的是最大 主动土压力。为使用同样的优化程序来计算主动土压力,我们引入加载系数的定义 P数值计算时事先假定的土压力。主动土压力P就是与临界滑面相对应的最大的P 值,即相应最小的η值,不论初始假定的P为何值均可收敛到同一Pa。数值方法从初始估 计的滑裂面开始(估计滑裂面的加载系数为n)。最优化方法将找到与最小m值,即m相应 的临界滑裂面,在下面的例题中我们将介绍这一搜索过程的工作情况。 8.2.7例题和讨论 对各种柔性支挡结构的大量观察表明,作用于挡土墙上的土压力与墙体的柔性有关, 即随土体的允许位移不同而不同。如前所述, Casagrande(1973)曾仔细分析了许多德国高速 公路桥的实测资料后发现,墙后土体的土压力分布与三角形分布相差甚远,Mulr测量了 许多高速公路桥的土压力值也证实了这一点。在大多数情况下墙后压力为梯形或矩形,因 而,其合力作用点不一定在墙高的下三分点。为此,我们需要研究不同的h值相应的土压 力数值。下面,我们通过[例81来考虑不同的土压力位置kb)对其大小的影响。 [例81]考核通用条分法用以计算主动土压力合理性例 我们现在通过一个墙高为12m的算例来说明使用821节介绍的数值分析方法求解主

204 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 cos( ) cos( ) ( ) a E x φ α β φ α β ′ − + ′ − + = (8.29) ( ) sec( ) a s x = φ ′ −α + β (8.30) 代入式(8.8)可得 cos( ) cos( ) ( )sec( ) a a w b a p x dx P P φ α β φ α δ φ α β ′ − + ′ − + ′ − + = − ∫ (8.31) 因此计算库仑主动土压力的公式可简化为 P P p x dx b a w a ∫ = cos(φ′ −α + β )sec(φ′ −α +δ ) − sec(φ′ −α +δ ) ( ) (8.32) 在无拉力缝时上式右端第一项为零 在有拉力缝时右端第一项中的 βa =0 以上的推导 是在假定滑裂面上φe ′ 为常数的条件下进行的 也就是说 是按照如图 8.8 示经典的库仑理 论进行的 如果滑裂面通过不同的土层 那么图 8.8 示的图解法就无能为力了 需要使用 更具一般意义的式(8.8) 而且要对土条侧向力的倾角作出假定 最简便的方法是令 β 在 a 和 b 点 图 8.10 分别为 βa 和δ 中间条块的 β 值按线性内插原则确定 在具有拉力缝时 βa =0 无拉力缝时 βa 值宜按第 2 章讨论的原则 设为 βa = a γ a γ 为 a 点坡面的倾角 8. 2. 6 临界滑裂面的确定 第 4 章讨论的确定临界滑裂面的方法可以不作修改用于求解主动土压力的问题 但是 在主动土压力领域 目标函数不再是安全系数 而是土压力 临界滑裂面所相应的是最大 主动土压力 为使用同样的优化程序来计算主动土压力 我们引入加载系数的定义 P = ( (8.33) 1 −η )P′ P′为数值计算时事先假定的土压力 主动土压力 Pa 就是与临界滑面相对应的最大的 P 值 即相应最小的η值 不论初始假定的 P′为何值均可收敛到同一 Pa 数值方法从初始估 计的滑裂面开始 估计滑裂面的加载系数为ηo 最优化方法将找到与最小η值 即ηm 相应 的临界滑裂面 在下面的例题中我们将介绍这一搜索过程的工作情况 8. 2. 7 例题和讨论 对各种柔性支挡结构的大量观察表明 作用于挡土墙上的土压力与墙体的柔性有关 即随土体的允许位移不同而不同 如前所述 Casagrande (1973)曾仔细分析了许多德国高速 公路桥的实测资料后发现 墙后土体的土压力分布与三角形分布相差甚远 Muller 测量了 许多高速公路桥的土压力值也证实了这一点 在大多数情况下墙后压力为梯形或矩形 因 而 其合力作用点不一定在墙高的下三分点 为此 我们需要研究不同的 h 值相应的土压 力数值 下面 我们通过[例 8.1]来考虑不同的土压力位置 k(b)对其大小的影响 [例 8.1] 考核通用条分法用以计算主动土压力合理性例 我们现在通过一个墙高为 12m 的算例来说明使用 8.2.1 节介绍的数值分析方法求解主

第8章边坡加固穗定分析205 动土压力的步骤( Chen and Li,1997),如图8.11示。为了和传统方法比较,此例两端点的B 值均设为零,采用图22(b)第2种侧向力的假定。当h=4,6,8m时,相应k=1/3,1/2,2/3。 输入的初始滑裂面编号为0,获得的临界滑裂面分别为1,2,3。相应的主动土压力,即x=a 处的P值P分别为3873,59907,46276kN。分析这些计算成果,可得到如下认识: 在k=1/3时,临界滑裂面回归为一条直线(曲线1),与水平面夹角恰好为45°+42(=63°) 其土压力数值也与库仑土压力的理论值一致。说明,当作用点为下三分点时,本文介绍条 分法可以回归为重力式挡土墙的经典理论。 当k=1/2时,主动土压力P变大。相应的临界滑裂面为曲线型(曲线2)。由此可见, 诸如支撑、锚拉和悬臂这一类的支挡式结构,由于土压力作用点位置抬高到中点,其数值 通常比重力式挡土墙的相应值大。 Casagrande(1973)曾建议使用静止土压力系数K0作为各 种支挡式结构的主动土压力系数,K0可取为(1-sinp)。对于本例,K0=0.41,故在k=12 情况下P。=610.80kN,这一数值和使用本文介绍的下限解59907KN接近 P在k=12附近获得极大值。从实用和安全观点来看,工程师可以将P的极大值作为 柔性支挡结构主动土压力的解。 12.0 y=20.58kN/m3 图8.11分析土压力与作用点位量关系一例([例8门) (a)初始和临界滑裂面:(b)土压力 在k=12计算过程中,我们还发现如果不引入式(826)和式(827)的限制条件,得到的 P值是126998kN。可是,检査这个解相应的正应力和剪力分布,发现这个解答是不正确 的,因为坡顶附近的土条面上的正应力和剪应力违背了式(⑧826)。这个解如果不被排除,将 代替正确解599,0πkN。事实上,作者曾碰到类似的错误解的数值比遵循合理性条件的解大 10倍还多的情况。这一现象说明,条分法中的合理性条件的限制,即式(27)至式(29),限 制了对f(x)假定的随意性,为其推广到土压力领域创造了条件 本例说明,早期 Terzaghi和Peck使用的简化的力矩平衡方法(图89),可以用本章介 绍的更严格的方法来代替。 [例8.2]考核通用条分法和库仑主动土压力一致性 在第824节,我们介绍了通用条分法回归为库仑主动土压力的情况。现以图812为 例,验证这一计算公式与经典解答的一致性

第 8 章 边坡加固稳定分析 205 动土压力的步骤(Chen and Li, 1997) 如图 8.11 示 为了和传统方法比较 此例两端点的β 值均设为零 采用图 2.2(b)第 2 种侧向力的假定 当 h =4, 6, 8m 时 相应 k=1/3, 1/2, 2/3 输入的初始滑裂面编号为 0 获得的临界滑裂面分别为 1, 2, 3 相应的主动土压力 即 x =a 处的 P 值 Pa分别为 387.3, 599.07, 462.76kN 分析这些计算成果 可得到如下认识 在 k =1/3 时 临界滑裂面回归为一条直线 曲线 1 与水平面夹角恰好为 45°+φ/2 (=63°) 其土压力数值也与库仑土压力的理论值一致 说明 当作用点为下三分点时 本文介绍条 分法可以回归为重力式挡土墙的经典理论 当 k =1/2 时 主动土压力 Pa变大 相应的临界滑裂面为曲线型 曲线 2 由此可见 诸如支撑 锚拉和悬臂这一类的支挡式结构 由于土压力作用点位置抬高到中点 其数值 通常比重力式挡土墙的相应值大 Casagrande (1973)曾建议使用静止土压力系数 K0 作为各 种支挡式结构的主动土压力系数 K0 可取为(1− sinφ ) 对于本例 K0=0.41 故在 k =1/2 情况下 Pa=610.80kN 这一数值和使用本文介绍的下限解 599.07kN 接近 Pa在 k =1/2 附近获得极大值 从实用和安全观点来看 工程师可以将 Pa的极大值作为 柔性支挡结构主动土压力的解 图 8. 11 分析土压力与作用点位置关系一例 [例 8.1] (a) 初始和临界滑裂面 (b) 土压力 在 k =1/2 计算过程中 我们还发现如果不引入式(8.26)和式(8.27)的限制条件 得到的 Pa 值是 1269.98kN 可是 检查这个解相应的正应力和剪力分布 发现这个解答是不正确 的 因为坡顶附近的土条面上的正应力和剪应力违背了式(8.26) 这个解如果不被排除 将 代替正确解 599.07kN 事实上 作者曾碰到类似的错误解的数值比遵循合理性条件的解大 10 倍还多的情况 这一现象说明 条分法中的合理性条件的限制 即式(2.7)至式(2.9) 限 制了对 f (x)假定的随意性 为其推广到土压力领域创造了条件 本例说明 早期 Terzaghi 和 Peck 使用的简化的力矩平衡方法 图 8.9 可以用本章介 绍的更严格的方法来代替 [例 8.2] 考核通用条分法和库仑主动土压力一致性 在第 8.2.4 节 我们介绍了通用条分法回归为库仑主动土压力的情况 现以图 8.12 为 例 验证这一计算公式与经典解答的一致性

206土质边坡稳定分析一原理·方法.程序 如图8.12所示,理论解答的计算公式为 os a cos(8+a1+ sin('+8)sin(o-B) cos(8 +a)cos(B-a) (8.34) co( B -B)=sect(@+6+a-B), sin(+)cos(6 +a)-tan(@++a-B)(8.35) Vsin(φ"-B)cos(B-a) 式中:a为墙的相对铅直线的倾斜角;为提供最大土压力的滑裂面与水平线的夹角;B为 坡面倾角;Ka为主动土压力系数 主动土压力计算面 XK.tHose 图8.12考核通用条分法和库仑主动土压力一致性例([例82]) 此例,H=12m,c=0,φ=36°,y=2.1×98kNm3对两种工况的计算情况如表8示。图8.13 为STAB程序相应计算成果,图中1为初始滑裂面,2为临界滑裂面,成果与理论解一致。 表8.1考核通用条分法和库仑主动士压力一致性例 工况B 主动土压力P 临界滑裂面倾角B 理论值。计算值理论值 0.29 43.5 43.4 58.1 15 42.6 表8.2图814的四个重力式挡土墙的土压力(kN/m) Example (a)()(c)(d) Rankine 43240197703742118.9 Numerical433.00191.1936898120.33 图8.13工况1数值计算成果([例82])

206 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 如图 8.12 所示 理论解答的计算公式为 2 2 2 cos( ) cos( ) sin( )sin( ) cos cos( ) 1 cos ( )         + − ′ + ′ − + + ′ − = δ α β α φ δ φ β α δ α φ α Ka (8.34) tan( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) cot( ) sec( ) φ δ α β φ β β α φ δ δ α β α β φ δ α β − ′ + + − ′ − − ′ + + − = ′ + + − (8.35) 式中 α 为墙的相对铅直线的倾斜角 βa为提供最大土压力的滑裂面与水平线的夹角 β 为 坡面倾角 Ka 为主动土压力系数 图 8. 12 考核通用条分法和库仑主动土压力一致性例 [例 8.2] 此例 H=12m, c=0, φ =36°, γ =2.1×9.8kN/m3 对两种工况的计算情况如表 8.1 示 图 8.13 为 STAB 程序相应计算成果 图中 1 为初始滑裂面 2 为临界滑裂面 成果与理论解一致 表 8. 1 考核通用条分法和库仑主动土压力一致性例 工况 主动土压力P 临界滑裂面倾角βa β δ Ka 理论值 计算值 理论值 计算值 1 15 10 0.29 43.5 43.45 58.1 57.75 2 15 20 0.28 42.6 42.56 56.8 57.70 表 8. 2 图 8.14 的四个重力式挡土墙的土压力(kN/m) Example (a) (b) (c) (d) Rankine 432.40 197.70 374.2 118.9 Numerical 433.00 191.19 368.98 120.33 图 8. 13 工况 1 数值计算成果 [例 8.2]