x ,v) (x,y) v,d-v dy+c (*kx) 00 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系
( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 = − + u x y v dx v dy c x y x y y x 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系
例1由下列条件求解析函数(z)=u+iv 2 u=x txy- y ∫(i=-1+i 解 av av au aa0a uxy =2x+y 2v+x ax a dx +dy=(2y-x)dx+(2x+ y)dy ay v(x, y) (2y-x)dx+(2x+y)小+c 0,0) xdx+l(2x+y)dy+c +2x++c 曲线积分法 2 2
u x xy y f i i f z u i v = + − = − + = + ( ) 1 ( ) 2 2 例1 由下列条件求解析函数 dy y x dx x y dy y v dx x v dv y x y u x v x y x u y v (2 ) (2 ) 2 2 = − + + + = = − + = = + − = 解 c y xy x xdx x y dy c v x y y x dx x y dy c x y o x y = − + + + = − + + + = − + + + 2 2 2 (2 ) ( , ) (2 ) (2 ) 2 2 0 ( , ) (0,0) 曲线积分法
故f(x)=(x2-y2+xy)÷2x+2xy+y2+c) =(x+ (x+j)2+ic=(1--i)x2+ic 2 ∫(i)=-1+i代入上式得(1-)2+i=-1+i f∫(z)=(1-)z+ 2 x=-(x+x),y=,(z-3 2 2i
x i y i c i z i c i x i y f z x y xy i x xy y c = + − + + = − + = − + + − + + + 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( ) (1 2 ( ) ) 2 1 2 2 1 故 ( ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) (1 2 1 ) 1 2 ( ) 1 (1 2 2 i z i c f z i i c i i f i i = = − + = − + 代入上式得，− + = − + ( ) 2 1 ( ), 2 1 z z i x = z + z y = −
又解∵/m,Oy Oν dx+d小y O =(2y-x)dx+(2x+ y)dy =2 ydx 2xdy- xdx ydy 2dcy +do 凑全微分法 2 v(x,y)=-+2xy++c 2 2 f(a=(x-y*+xy)+i(=x+ 2xy+y+c)
) 2 2 2 ( 2 2 2 2 x y dxy d ydx xdy xdx ydy = + − + = + − + y x dx x y dy dy yv dx xv dv = ( 2 − ) + ( 2 + ) + 又解 = c y xy x v x y = − + + + 2 2 2 ( , ) 2 2 ) 21 2 21 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 f z = x − y + xy + i − x + xy + y + c 凑全微分法
又触,0=2x+y→y=2x++(x) O 2 ay →x=2y+p'(x)=2y-x ax 2 p(x)=x (x) 2 偏积分法 2 2 v(x, y)=2xy+ 22 f(a=(x-y+xy)+i( -x+2xy+y+c) 2
( ) 2 2 2 2 x y x y v xy yv = + = + + ) 21 2 21 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 f z = x − y + xy + i − x + xy + y + c 又解 偏积分法 y x y x xv xv = + = − 2 '( ) 2 c x x = − + 2 ( ) 2 c y x v x y = xy + − + 2 2 ( , ) 2 2 2 ' ( x ) = − x