直角坐标系中的分离变量法 。分离变量法是数学物理方法中最常用的一种方法； 。边界面需与一个适当的坐标系平面重合或分段重合 微分方程的解可以表示成为三个函数的乘积，且每个函 数仅是一个坐标的函数 ·分离变量法通过把微分方程化为常微方程求解 ·静态场中最常见的微分方程： V20=0 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn
2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 7 直角坐标系中的分离变量法 分离变量法是数学物理方法中最常用的一种方法； 边界面需与一个适当的坐标系平面重合或分段重合 微分方程的解可以表示成为三个函数的乘积，且每个函 数仅是一个坐标的函数 分离变量法通过把微分方程化为常微方程求解 静态场中最常见的微分方程： 2 ∇ = ϕ 0 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
直角坐标系中的分离变量法 。在直角坐标系中，拉普拉斯方程为 a20,a20.a2p ax20y2T22 =0 ●设0可以表示为三个函数的乘积： p(x,y,=)=X(x)Y(y)Z(z) 。代入拉普拉斯方程： 42+4 d? =0 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn
2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 8 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为 设φ可以表示为三个函数的乘积： 代入拉普拉斯方程： 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ zyx ϕϕϕ ϕ = zZyYxXzyx )()()(),,( 0 2 2 2 2 2 2 =++ dz Zd XY dy Yd XZ dx Xd YZ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
直角坐标系中的分离变量法 71 X a2+B2+y2=0 2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn
2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 9 直角坐标系中的分离变量法 0 """ =++ Z Z Y Y X X X " 2 a X = 0 222 a γβ =++ Y " 2 Y = β Z " 2 Z = γ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
直角坐标系中的分离变量法 回顾二阶齐次线形微分方程的求解过程： 微分方程一般形式： y"+py'+gy=0 Step1:特征方程： r2+pr+q=0 。Step2:特征方程的根： 12= -p±Vp2-4g 2 Step3:选择相应的通解形式： 互异实根r1,2 y=Ce+Cex 相等实根r12 y=(C+C2x)e"x 2011年6月10 共轭复根r,2=a+j祁 @mail.xidiar y=e4 (C cos Bx+C2 sin Bx)
2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 直角坐标系中的分离变量法 回顾二阶齐次线形微分方程的求解过程： 微分方程一般形式： Step1：特征方程： Step2：特征方程的根： Step3：选择相应的通解形式： y py qy ′′ ′ + += 0 2 r pr q + += 0 2 1,2 4 2 ppq r −± − = 互异实根r1,2 相等实根r1,2 共轭复根r1,2=α+jβ 1 2 1 2 rx r x y Ce Ce = + 1 1 2 ( ) r x y C Cxe = + 1 2 ( cos sin ) x y e C xC x α = β β + XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
直角坐标系中的分离变量法 =a X"-a2X=0 X 由二阶齐次线形微分方程求解过程可知： 。当a2=0时 X(x)=aox+bo 。当a2<0时，令=jk(k为正实数) X(x)=a sin k x+a cosk,x X(x)=be h+bek 当a2>0时，令=kx X(x)=c shk x+cchk,x X(x)=de kx+d,ekx 2011年6 xidian.edu.cn
2011年6月10日星期五 lexu@mail.xidian.edu.cn 11 直角坐标系中的分离变量法 由二阶齐次线形微分方程求解过程可知： 当α2=0时 当α2<0 时，令α=jkx(kx为正实数) 当α2>0 时，令α=kx X " 2 a X = 2 X aX " 0 − = 2 1,2 r a = 00 )( += bxaxX )( = 1 sin x + 2 cos x xkaxkaxX jk x jk x x x )( 1 += 2ebebxX − 1 2 ( ) x x kx kx X x de de − X x c shk x c chk x ( ) = + 1 2 x x = + XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN