°例2.若函数()=x+ay+(bx+-)在复平面上解析,试确定实常数nb,c的值 解:=x+m,V=bx+cy,且=1a0=b,Dm -a 因为f()在复平面上解析,故需满足C-R方程: au ay au OX 所以有c=1,b=-a °例3.如果(在区域Dn解析,而且满足下列条件之一,则()在呐为一常数 (1)f(=)=0,(2)Ref(z)为常数,(3)f()|为常数 证明:0)r(2)=2x+1m=2m-1=0,由r(=)=0 au au ay av ax a x 所以l,ν为常数, 于是函数f()在D内为一常数 2021/224
2021/2/24 19 • 例2．若函数 在复平面上解析，试确定实常数 的值. f z x ay i bx cy a b c ( ) ( ) , , = + + + 解： u x ay v bx cy = + = + , , 1, , , u u v v a b c x y x y = = = = 且 ， 因为 在复平面上解析， f z( ) , u v u v C R x y y x − = = − 故需满足 方程： 所以有c b a = = − 1, . • 例 3 ．如果 在区域 内解析，而且满足下列条件之一，则 在 内为一常数. f z D f z D ( ) ( ) (1) ( ) 0, f z = （ ） 为常数， 2 Re ( ) f z (3) | ( ) | f z 为常数. 证明： (1) ( ) 0, u v v u f z i i x x y y = + = − 0 u u v v x y x y = = = ， 由f z ( ) 0, = 所以 ， 为常数， u v 于是函数 在 内为一常数 f z D ( )
au au (2)因为u为常数,故 0,由C-R方程可知: av av 0, 所以(z)为常数 (3)|f(=)=n2+v2=常数,分别对x,y求偏导数,得: u-+y 0.n-+y=0 由C-R方程知:u au a 0.+v 「anau 解关于0u的齐次线性方程组:今0 A +u 当n2+y2=0,即==0,显然f(x)=0; 当n2+p2≠0时,m==0,故n=常数, 同理,ν=常数,→f(z)在D内为常数 2021/224
2021/2/24 20 (2) 0 u u u x y = = 因为 为常数，故 ， 0 v v C R x y − = = 由 方程可知： ， 所以 为常数 f z( ) . 2 2 2 (3) | ( ) | f z u v = + =常数，分别对 求偏导数，得： x y, 0, 0, u v u v u v u v x x y y + = + = 由 方程知： C R− 0, 0, u u u u u v u v x y y x − = + = 0 , 0 u u u v u u x y x y u u v u x y − = + = 解关于 的齐次线性方程组： ， 2 2 当 ，即 ，显然 u v u v f z + = = = = 0 0 ( ) 0; 2 2 0 0 u u u v u x y + = = = 当 时， ，故 常数， 同理， 常数， 在 内为常数 v f z D = ( )