宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数

2.函数解析的充分必要条件 定理1:函数(x)=(x,y)+nv(x,y定义在区域D内,则f(-)在D呐一点=x+处可导的充分必要条件是 (1)a(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微; (2)在该点满足柯西—黎曼方程(C-R方程:2=2m,m=-2 证明:必要性 f(z)在z=x+y处可导,→f(z)=lim f(=+A:)-f(=) 存在 A→>0 对充分小的A=x+1△y>0,有 →f(x+A)-f()=f()△z+p(△)△,其中limp(△)=0 →0 设f(z+A)-f()=M+1△,f(x)=a+ibP(A)=1+1P2 所以△a+i△v=(a+ib(△x+i△y)+(P+i12)Ax+iAy) (a△x-by+Ax-P24y)+(bAx+aAy+P2△x+P4y) 2021/224

2021/2/24 14 2．函数解析的充分必要条件 定理1： 函数 定义在区域 内，则 f z u x y iv x y D ( ) ( , ) ( , ) = + f z D z x iy ( )在 内一点 处可导的充分必要条件是： = + (1) ( , ) ( , ) ( , ) u x y v x y x y 与 在点 可微； ( ) , . u v u v C R x y y x     − = = −     (2)在该点满足柯西——黎曼方程 方程： 证明：必要性 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim z f z z f z f z z x iy f z z  → +  − = +  =   在 处可导， 存在 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , lim ( ) 0 z f z z f z f z z z z z    →  +  − =  +    =  其中 设 ， f z z f z u i v ( ) ( ) +  − =  +  对充分小的 ，有  =  +   z x i y 0 1 2 f z a ib z i ( ) , ( ) = +  = +    所以 +  = u i v 1 2 ( )( ) ( )( ) a ib x i y i x i y +  +  + +  +    1 2 2 1 =  −  +  −  +  +  +  +  ( ) ( ) a x b y x y i b x a y x y    

从而△a=aAx-by+pAx-P24y,△=bAx+ay+P24x+Ay 由于limp(A)=0,而p(A)=P+12,所以imp=0,limP2=0 △z→>0 Ax→>0,△y-0 Ax→>0,△y->0 因此aAx-P2y=o△x)2+(y)2),p△Ax+n△y=0△x)2+(4y) △u=a△x-b△y+o(y△x)2+(4y)2),△v=bAx+a△y+o(√△x)2+(△y)2) 于是l(x,y),v(x,y)在(x,y)处可微 且沿平行于实轴方向 ax△x→>0,4y=0△x △v 沿平行于虚轴方向 Im yAx=0,4y→>0△y 从而 u 同理C= 2021/224

2021/2/24 15 0 lim ( ) 0 z  z  → 由于 ，  = 1 2 而 ，    ( )  = + z i 1 2 0, 0 0, 0 lim 0, lim 0 x y x y    →  →  →  → 所以 = = 2 2 1 2 因此 ，    −  =  +  x y o x y ( ( ) ( ) ) 2 2 2 1    +  =  +  x y o x y ( ( ) ( ) ) 2 2   =  −  +  +  u a x b y o x y ( ( ) ( ) ), 2 2  =  +  +  +  v b x a y o x y ( ( ) ( ) ) 于是 在 处可微. u x y v x y x y ( , ), ( , ) ( , ) 且沿平行于实轴方向： 0, 0 lim x y u u a x x  →  =   = =   沿平行于虚轴方向： 0, 0 lim x y v v a y y  =  →   = =   u v x y   =   从而 ， . u v y x   = −   同理 1 2 从而 ，  =  −  +  −  u a x b y x y   2 1  =  +  +  +  v b x a y x y  

充分性 由于f(二+△)-f(-)=(x+x,y+△y)-v(x,y)+v(x+x,y+Ay)-(x,y) △+i 又因为n(x,y)v(x,y)在点(x,y)可微,可知 △=Ax+4y+E1Ax+E2A△v +△y+E3 其中lim=0,k∈N Ax→>0,△y->0 au a u 因此f(z+△)-f(z)=( +iAx(+i) Ay+(E1+i)Ax+(E3+iE4)4) 根据C-R方程 所以f(z+△)-f(=) au a +i(Ax+iAy)(a+iE3) Ax+(e, +iE4Ay f(=+z)-f(=)au,:a +i-+(E1+iE (E,+E △z x f(=)=lir f(2+A2)-f(=)a,,Oy △z 2021/2/

2021/2/24 16 充分性 由于f z z f z u x x y y v x y i v x x y y v x y ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] +  − = +  +  − + +  +  − =  +  u i v 又因为 在点 可微，可知 u x y v x y x y ( , ), ( , ) ( , ) 3 4 v v v x y x y x y      =  +  +  +    1 2 u u u x y x y x y      =  +  +  +    0 0 lim 0, k x y  k N  →  → =  ， 其中 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u v u v f z z f z i x i y i x i y x x y y         +  − = +  + +  + +  + +      因此 2 , u v u v v C R i x y y x x      − = = − =      根据 方程： 1 3 2 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) u v f z z f z i x i y i x i y x x       +  − = +  +  + +  + +    所以 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z u v x y i i i z x x z z     + −      = + + + + +      0 ( ) ( ) ( ) lim . z f z z f z u v f z i  → z x x +  −    = = +    

定理2:函数f(z)=l(x,y)+n(x,y)在定义域D内解析的充分必要条件是 函数(x,yv(xy)在D内可微分且满足C一R方程判别函数在区域解析的常用方法 判断函数f(x)=l(x,y)+iv(x,y)在内是否解析,只需判断两点 (1)a(x,y)(x,y)在D内偏导数连续: (2)满足C-R方程: au Ov au a 若函数f(x)=l(x,y)+in(x,y)在D内不满足C-R方程,则f(=)在D内不解析 例 判定下列函数在何处可导,在何处解析? ()w=z,(2)f(x)=e(cos y+isin y),(3)w=2Re(=) 解:()=z=x-,因为=x,v=-y偏导数连续 au 可知≠,即不满足C-R方程 2021/224 所以函数=z在复平面内处处不可导,从而处处不解析

2021/2/24 17 定理2：函数 f z u x y iv x y D ( ) ( , ) ( , ) = + 在定义域 内解析的充分必要条件是 函数 在 内可微分且满足 方程 u x y v x y D C R ( , ), ( , ) . − 判别函数在区域解析的常用方法 (1) ( , ), ( , ) u x y v x y D 在 内偏导数连续； (2) , . u v u v C R x y y x     − = = −     满足 方程： 判断函数 在内是否解析，只需判断两点： f z u x y iv x y ( ) ( , ) ( , ) = + 若函数 在 内不满足 方程，则 在 内不解析 f z u x y iv x y D C R f z D ( ) ( , ) ( , ) ( ) . = + − • 例1．判定下列函数在何处可导，在何处解析？ (1) , w z = (2) ( ) (cos sin ), x f x e y i y = + (3) Re( ). w z z = 解： (1) , w z x iy = = − 因为 偏导数连续 u x v y = = − , , 1, 0, 0, 1, u u v v x y x y     = = = =     u v x y      可知 ，即不满足 方程 C R− , 所以函数 在复平面内处处不可导，从而处处不解析. w z =

(2)f(x)=e'(cosy+ z y)因此a= e cosy,ν= e sin y偏导数连续, A ou 且 = e cos y -e siny,=e siny,o=e cos y, 以上四个偏导数连续,且满足C-R方程,所以f(z)在复平面内处处可导, 于是处处解析,且f(=)=e'(cosy+ z SIn y)=f(z) 这个函数特点:其导数是本身,今后看到这个函数就是复变函数中的指数函 数 (3)w=:Re(z=(x+iy)x=x+ixy u=x,v=xy 且 ou =2x 这四个偏导数连续,但只有当x=y=0时,才满足C-R方程, 因此函数仅在z=0处可导,但在复平面内处处不解析. 2021/224

2021/2/24 18 (2) ( ) (cos sin ), x f x e y i y = + cos , sin x x 因此 偏导数连续， u e y v e y = = cos , sin , sin , cos u u v v x x x x e y e y e y e y x y x y     = = − = =     且 ， 以上四个偏导数连续，且满足 方程， C R− 所以 在复平面内处处可导， f z( ) ( ) (cos sin ) ( ). x 于是处处解析，且f z e y i y f z  = + = 这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中的指数函 数． 2 (3) Re( ) ( ) , w z z x iy x x ixy = = + = + 2 , , 2 , 0, , u u v v u x v xy x y x x y x y     = = = = = =     且 ， 这四个偏导数连续，但只有当 时，才满足 方程, x y C R = = − 0 因此函数仅在 处可导，但在复平面内处处不解析. z = 0