Chap.4 The representalion for the stetes and dynamical varlable (2)含有连续本征值情况 例如，氢原子能量就是这样一种力学 量，即有分立也有连续本征值。 设力学量Q的本征值和本征函数分别为： Q1,Q23.,Qn.q an(t)= Wn*(x)Ψ(x,t) u(,u2(,u☒，ug( a,()=∫ u。*（x)平(x,t) 平(x,)=∑an(t)4n(x)+∫a,t)4,(x)dg 归一化则变为： ∑n*(t)a(t)+∫a,*(t)a,()dg =1 la.()P是在平（飞，0 态中测量力学量 1a,2d是在平(x,t)态中测量力学量 Q所得结果为Q。 a,(t) Q所得结果在q→q+dq之间的几率。 的几率； a2(t) 平 Ψ=4，()* 42()）* 0n()* a,()* 在这样的表象中，Ψ a (t) 仍可以用一个列矩阵 归一化仍可表为：平+Ψ=1 表示： a(t) 11
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 11 （ 2）含有连续本征值情况 例如, 氢原子能量就是这样一种力学 量，即有分立也有连续本征值。 设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为: Q 1, Q 2, ., Q n, ., q u 1(x), u 2(x), ., u n(x), ., u q(x) 则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Ψ = Ψ ∫ ∫ a t u x x t dx a t u x x t dx q q n n ( ) * ( ) ( , ) ( ) * ( ) ( , ) 归一化则变为： |a n(t)| 2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Q n 的几率； |a q(t)| 2 dq 是在Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果在q → q + d q之间的几率。 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 a t a t a t a t q n # # ( ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ) 1 2 a t a t a t a t Ψ = " n " q + 归一化仍可表为：Ψ + Ψ= 1 x t a n t un x a q t uq x dq n Ψ ( , ) = ∑ ( ) ( ) + ∫ ( ) ( ) ∑ a n * ( t ) a n ( t ) + ∫ a q * ( t ) a q ( t ) dq = 1 n
Chap.4 The representation for the states and dynamical varlable 同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， (三)讨论 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。 坐标表象 动量表象 动量本征 (x,t)=[1/(]expli(p'x-E't)/] C(p,t)=8 (p'-p)expl-iE't/] 函数 不含时间 中，(x)=[1/(2π]2 exp[ip'x/h例 C(p)=δ(p'-p) 的动量本 征函数 本征方程p)=p'中) pδ(p'-p)=p'δ(p'-p) 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由 三分量AAA,描述；在球坐标系用三分量AA。A。描述。A、A,A,和Ar, A,A。形式不同，但描写同一矢量A。 12
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 12 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由 三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量Ar Aθ Aϕ 描述。 Ax Ay Az和 Ar, Aθ, Aϕ 形式不同，但描写同一矢量A。 同一状态可以在不同表象用波函数描写, 表象不同, 波函数的形式也不同, 但是它们描写同一状态。 （三）讨论 坐标表象 动量表象 动量本征 函数 Ψp'(x,t)=[1/(2π=)]1/2exp[i(p'x-E't)/=] C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/=] 不含时间 的动量本 征函数 ψp'(x)= [1/(2π=)]1/2 exp[ip'x/=] C(p)=δ(p'-p) 本征方程 p ψp'(x)=p'ψp'(x) pδ(p'-p)=p'δ(p'-p)
Chap.A The representslion for the states and dynamical varlable 量子力学表象 坐标系 基本矢量 不同表象波函数 不同坐标系的一组分量 u1(x),2(x),.,u(x),. i,j,k, a1(t),a2(t),an(t), Ax Ar:Aa 量子状态Ψ(x,t) 矢量A 态矢量 所以我们可以把状态平看成是一个矢量 一一态矢量。 选取一个特定力学量Q表象，相当于选取特定的坐标系， u1(x),u2(x),., u(x), 。 是Q表象的基本矢量简称基矢。 13
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 13 量子力学 表象 坐标系 不同表象波函数 不同坐标系的一组分量 u1(x), u2(x),., un(x), . i, j, k, a1(t), a2(t),., an(t), . Ax, Ay, Az 量子状态Ψ(x,t) → 矢量 A 态矢量 基本矢量 所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系， u1(x), u2(x), ., un(x), . 是 Q 表象的基本矢量简称基矢
Chap.4 The representstion for the states and dynamical varlable 波函数 a(t) a2(t) 是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的 平 “分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以 : 态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的 a (t) 函数空间，称为Hilbert空间。 §2算符的矩阵表示 (一)力学量算符的矩阵表示 (二)Q表象中力学量算符F的性质 (三)Q有连续本征值的情况 14
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 14 波函数 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =Ψ ## )( )( )( 21 ta ta ta n 是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的 “分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以 态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的 函数空间，称为Hilbert空间。 （一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 （三）Q 有连续本征值的情况 §２算符的矩阵表示
Chap.A The representslion for the states and dynamical varlable (一)力学量算符的矩阵表示 坐标表象： Q表象： 假设只有分立本征值，将 中，平按{u(x)}展开： (x,t)=F(x,p)Ψ（化，t) 代入 Ψ(x,0=Σ am(t)um(x） =F(x,-ih悬)Ψ(x,) Φ(x,t)=∑ b(t)um(x) 两边左乘u*心) ∑bn()unm(x)=F(x,-i品)∑an()um(x) 并对x积分 m ∑bn()jun*un(c)dk=∑刂un*f(x,-ii悬)n(x)clan() ∑bn(d)m=∑Fnmn( b.(0）=∑Fnn Q表象的 表达方式 Fnm=∫n*(x)F(,-ih)unm(x)d 15
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable 15 坐标表象： ),(),( ˆ ,( ˆ ),() ˆ ),( txixF txpxFtx x Ψ−= Ψ=Φ ∂ ∂ = Q表象: 假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开： ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =Φ =Ψ ∑∑ ),( )()( ),( )()( xutbtx xutatx m m m m m m )()(),( ˆ )()( mm xutaixFxutb m mm x m ∑ ∂ ∑∂ −= = 两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分 )(])(),( ˆ dxxuutb *[)(*)( m m tadxxuixFun x m m mn m ∂ ∂ = − ∑ ∫ ∑ ∫ = tb )( taF )( mnm m nmm m δ = ∑∑ )( taFtb )( mnm m n = ∑ nm n )(* ˆ ∂x m )(),( dxxuixFxuF ∂ ≡ − ∫ = Q表象的 表达方式 代入 （一）力学量算符的矩阵表示