第十四章杆件的应变能及其应用 、教学目标和教学内容 1.教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能,也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理,完成杄件的位移计算,并可以求解简单 超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中,学习和应用能量方法奠定基础 2.教学内容 介绍能量法的有关概念。例如,外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 、重点难点 重点:建立应变能等有关概念 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算 卡氏第二定理及其应用。 难点:杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时,如何正确地选取或设定与位移相应的 广义力。 能否正确写出内力方程,灵活地进行先求偏导数再积分的运算。 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形,外力作用点要产生位移.因此,在弹性 体的变形过程中,外力沿其作用方向做了功,称为外力功。对于弹性体,因为变 形是可逆的,外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时 该能量又将重新释放出来作功,使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发 条在被拧紧的过程中,发生了弹性变形而积蓄了能量,在它放松的过程中可带动 指针转动,从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量,从而具有对外 界作功的潜在能力,通常把这种形式的能量称为弹性应变能( DIastic strain
第 十 四 章 杆件的应变能及其应用 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单 超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。 2．教学内容 介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 二、重点难点 重点：建立应变能等有关概念。 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。 卡氏第二定理及其应用。 难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的 广义力。 能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6 学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性 体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变 形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时， 该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发 条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动 指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外 界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlastic strain
energy)或弹性变形能( Plastic deformation energy),用V表示。 根据物理学中的功能原理,积蓄在弹性体内的应变能V及能量损耗ΔE 在数值上应等于荷载所作的功,即 J+△E= 如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计,应有 (14.1) 利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法,相应 的基本原理统称为功能原理( Principle for work and energy)。弹性体的功能 原理的应用非常广泛,它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论 基础 2、杆件的应变能计算 如前所述,若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性 体内,即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失,则只要得到加载过程中外力 功的数值,弹性体应变能的数值也就可以计算出来,所以说外力功是应变能的 种度量。 2.1外力功的计算 外力作功分为以下两种情况。 种情况为常力作功。这里所谓常力,是指工程动力学中,作用在不变形 的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时,它所作的功等 于外力与其相应位移的乘积。例如,在沿外力F方向线上有线位移Δ,则 W=F·△ 另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载,是指构件所承受的荷载从零开始 缓慢地増加到最终值,然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静 荷载作功,可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图14.1所示的简 单受拉杆,拉力由零逐渐增加到定值F,由F产生的伸长变形由零逐渐增加到 M,这就是拉力F的作用点的位移。如果材料服从胡克定律,则外力F与位移Δ 成线性关系(图14.2a)。设F表示加载过程中拉力的一个值,相应的位移为M1, 此时将拉力增加一微量d,使其产生相应的位移增量d(Δ1),这时,已经作用 在杆上的拉力F将在该位移增量上作全功,其值为 dW=F1·d(M1) (14.2)
energy）或弹性变形能（Dlastic deformation energy），用 V 表示。 根据物理学中的功能原理，积蓄在弹性体内的应变能 V 及能量损耗 E 在数值上应等于荷载所作的功，即 V + E = W 如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计，应有 V = W （14.1） 利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法，相应 的基本原理统称为功能原理（Principle for work and energy）。弹性体的功能 原理的应用非常广泛，它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论 基础。 2 、杆件的应变能计算 如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性 体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力 功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出来，所以说外力功是应变能的一 种度量。 2.1 外力功的计算 外力作功分为以下两种情况。 一种情况为常力作功。 这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形 的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等 于外力与其相应位移的乘积。例如，在沿外力 F 方向线上有线位移 ，则 W = F 另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载，是指构件所承受的荷载从零开始 缓慢地增加到最终值，然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静 荷载作功，可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图 14.1 所示的简 单受拉杆，拉力由零逐渐增加到定值 F ，由 F 产生的伸长变形由零逐渐增加到 l ，这就是拉力 F 的作用点的位移。如果材料服从胡克定律，则外力 F 与位移 l 成线性关系（图 14.2 a ）。设 F1 表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为 1 l ， 此时将拉力增加一微量 dF1 ，使其产生相应的位移增量 ( )1 d l ，这时，已经作用 在杆上的拉力 F1 将在该位移增量上作全功，其值为 = dW F1 ( )1 d l （14.2）
FP I 图14.1 在上式中略去了在d(△)上作的功,这部分功为二阶微量。dW在图 14.2a中以阴影面积来表示。拉力从零增加到F的整个加载过程中所作的总功则 为这种单元面积的总和,也就是△OAB的面积,即 F1·d(△1 上述积分是与静荷载施加过程有关的积分,可以称为静荷载作功的过程积 分。积分结果的系数1/2,既是已经完成过程积分的标志,又表示构件材料为线 性弹性材料。将以上的分析推广到其它的受力情况,因而静荷载下外力功的计算 式可写为 A a 0 d(△1) △t (b 图14.2
图 14.1 在上式中略去了 dF1 在 ( )1 d l 上作的功，这部分功为二阶微量。 dW 在图 14.2 a 中以阴影面积来表示。拉力从零增加到 F 的整个加载过程中所作的总功则 为这种单元面积的总和，也就是 OAB 的面积，即 = F W F 0 1 ( )1 d l = Fl 2 1 上述积分是与静荷载施加过程有关的积分，可以称为静荷载作功的过程积 分。积分结果的系数 1/2，既是已经完成过程积分的标志，又表示构件材料为线 性弹性材料。将以上的分析推广到其它的受力情况，因而静荷载下外力功的计算 式可写为 W = F 2 1 （14.3） 图 14.2
V=W=F1d(M)=F△ 式中的F是广义力,它可以是集中力或集中力偶;Δ是与广义力F相对应的 位移,称为广义位移,它可以是线位移或角位移。上式表明,当外力是由零逐渐 增加的变力时,在符合胡克定律的范围内,外力在其相应位移上所作的功,等于 外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。 2.2杆件的应变能计算 2.2.1应变能的有关概念 按照功能原理,应变能可以由计算外力的功得到,这是应变能的一种计算方 V=F·d(△) 同时,也表明线弹性材料杆件的应变能,在完成了过程积分,也始终具有 1/2系数。 VE=W=LF d(Al)=FAl 应变能和外力的功,它们在杆件受力变形过程中的积累,也可以由荷载 伸长图和应力应变图(见图14.2)考察到 vE=o dE=08 2.2.2杆件的应变能计算 2.2.2.1杆件在各种基本变形时应变能的计算 如前所述,应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。以下我们讨论 的均为静荷载问题,动能和其他能量的损耗不讠 1.轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能 当拉(压)杆的变形处于线弹性范围内时,外力所作的功为 则杆内的应变能为 由图14.1知,杆件任一横截面上的轴力
式中的 F 是广义力，它可以是集中力或集中力偶； 是与广义力 F 相对应的 位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。上式表明，当外力是由零逐渐 增加的变力时，在符合胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所作的功，等于 外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。 2.2 杆件的应变能计算 2.2.1 应变能的有关概念 按照功能原理，应变能可以由计算外力的功得到，这是应变能的一种计算方 法。 同时，也表明线弹性材料杆件的应变能，在完成了过程积分，也始终具有 1/2 系数。 应变能和外力的功，它们在杆件受力变形过程中的积累，也可以由荷载 伸长图和应力应变图(见图 14.2)考察到。 2.2.2 杆件的应变能计算 2.2.2.1 杆件在各种基本变形时应变能的计算 如前所述，应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。以下我们讨论 的均为静荷载问题，动能和其他能量的损耗不计。 1. 轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能 当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所作的功为 W = Fl 2 1 则杆内的应变能为 V = W = Fl 2 1 由图 14.1 知，杆件任一横截面上的轴力 FN = F V F d l F l V W l = • = = 2 1 ( ) 1 0 1 V W F d l F l l = = = 2 1 ( ) 1 0 1 2 1 1 0 = 1 = d V W F d l F l l = = = 2 1 ( ) 1 0 1
考虑到胡克定律有 所以,拉(压)杆的应变能为 (14.4a) 2EA 或 =E4△ 14.4b) 若外力较复杂,轴力沿杆轴线为变量F(x),可以先计算长度为d 微段内的应变能,再按积分的方法计算整个杆件的应变能,即 dvs Fw(r)dx 2EA =(x (14.5) 2EA 为了对构件的弹性变形能有更全面的了解,我们不但要知道整个构件所 能积蓄的应变 能,而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。对于承受均匀拉力的杆 (图14.1),杆内各部分的受力和变形情况相同,所以每单位体积内积蓄的应变 能相等,可用杆的应变能V除以杆的体积V来计算。这种单位体积内的应变能, 称为应变比能( Density of strain energy),简称比能,并用v表示,于是 Al 可见应变比能v的数值也可以用aE图中△Ob的面积来表示(图14.2b)。 根据胡克定律σ=EE,比能又可以写成下列形式 Ea (14.6) 2E2
考虑到胡克定律有 EA F l l N = 所以，拉（压）杆的应变能为 EA F l V N 2 2 = （14.4 a ） 或 l EA l V 2 ( ) 2 = （14.4 b ） 若外力较复杂，轴力沿杆轴线为变量 F (x) N ，可以先计算长度为 dx 微段内的应变能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即 dV = EA F x dx N 2 ( ) 2 = l N EA F x dx V 2 ( ) 2 （14.5） 为了对构件的弹性变形能有更全面的了解，我们不但要知道整个构件所 能积蓄的应变 能，而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。对于承受均匀拉力的杆 （图 14.1），杆内各部分的受力和变形情况相同，所以每单位体积内积蓄的应变 能相等，可用杆的应变能 V 除以杆的体积 V 来计算。这种单位体积内的应变能， 称为应变比能（Density of strain energy），简称比能，并用 v 表示，于是 v V V = Al F l N 2 1 = = 2 1 可见应变比能 v 的数值也可以用 ~ 图中 Oab 的面积来表示（图 14.2 b ）。 根据胡克定律 = E ，比能又可以写成下列形式 v = 2 2 2 1 2 2 E E = = （14.6）