第九章绪论 、教学目标和教学内容 1.教学目标 通过本章学习,掌握应力状态的概念及其研究方法;会从具有受力 杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况;会计算平面应力状态下 斜截面上的应力;掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力 主方向的计算,并会排列主应力的顺序;掌握广义胡克定律;了解复杂 应力状态比能的概念;了解主应力迹线的概念。 2.教学内容 ①应力状态的概念; ②平面应力状态分析 ③三向应力状态下的最大应力 ④广义胡克定律·体应变; ⑤复杂应力状态的比能 ⑥梁的主应力·主应力迹线的概念 二、重点难点 重点: 、平面应力状态下斜截面上的应力计算,主应力及主方向的计算,最大剪 应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用 难点: 1、应力状态的概念,从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力 情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念,主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 学时
第 九 章 绪 论 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力 杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下 斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、 主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂 应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。 2．教学内容 ○1 应力状态的概念； ○2 平面应力状态分析； ○3 三向应力状态下的最大应力； ○4 广义胡克定律•体应变； ○5 复杂应力状态的比能； ⑥梁的主应力•主应力迹线的概念。 二、重点难点 重点： 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪 应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。 难点： 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力 情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 学时
五、讲课提纲 1、应力状态的概念 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态( state of stresses at a given point),是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析( Analysis of Stress- State)是用平衡的方法,分析过一点 不同方向面上应力的相互关系,确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用 点处的应力状态,可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述,通 常是用围绕该点取出一个微小正六面体(简称单元体 element)来表示。单元体 的表面就是应力作用面。由于单元体微小,可以认为单元体各表面上的应力是均 匀分布的,而且一对平行表面上的应力情况是相同的。例如,图9.1截面mm上 ad点的应力状态表示方式,如图(c)所示。 (d) 图9.1 9.2节中的分析将表明,一点处不同方向面上的应力是不相同的。我们把在 过一点的所有截面中,切应力为零的截面称为应力主平面,简称为主平面 ( principal plane)。例如,图(c)中a、d单元体的三对面及b、c单元体的 前后一对表面均为主平面。由主平面构成的单元体称为主单元体( principal element),如图(c)中的a、d单元体。主平面的法向称为应力主方向。简称主 方向( principal direction)。主平面上的正应力称为主应力( principal stresss,如图(c)中a、d单元体上的a1及a3。用弹性力学方法可以证明, 物体中任一点总可找到三个相互垂直的主方向,因而每一点处都有三个相互垂直 的主平面和三个主应力:但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况 下,主平面及主方向便会多于三个
五、讲课提纲 1、应力状态的概念 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点 不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用 面。 一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通 常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体 element）来表示。单元体 的表面就是应力作用面。由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均 匀分布的，而且一对平行表面上的应力情况是相同的。例如，图 9.1 截面 mm 上 a~d 点的应力状态表示方式，如图（c）所示。 图 9.1 9.2 节中的分析将表明，一点处不同方向面上的应力是不相同的。我们把在 过一点的所有截面中，切应力为零的截面称为应力主平面，简称为主平面 （principal plane）。例如，图（c）中 a、d 单元体的三对面及 b、c 单元体的 前后一对表面均为主平面。由主平面构成的单元体称为主单元体（principal element），如图（c）中的 a、d 单元体。主平面的法向称为应力主方向。简称主 方向（principal direction）。主平面上的正应力称为主应力（principal stresss），如图（c）中 a、d 单元体上的 1 及 3 。用弹性力学方法可以证明， 物体中任一点总可找到三个相互垂直的主方向，因而每一点处都有三个相互垂直 的主平面和三个主应力；但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况 下，主平面及主方向便会多于三个
点处的三个主应力,通常按其代数值依次用1≥a2≥a3来表示,如图(c) 中a、d单元体,虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力,但须分别 用σ1,a3表示。根据一点处存在几个不为零的主应力,可以将应力状态分为三 类 1)单向(或简单)应力状态:三个主应力中只有一个主应力不为零,如图 9.2(a)所示。 2)二向应力状态:三个主应力中有两个主应力不为零,如图9.2(b)所示。 3)三向(或空间)应力状态:三个主应力均不为零,如图9.2(c)所示 (a) 图 单向及二向应力状态常称为平面应力状态( plane state of stresses)。二 向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为,一个单向应力状态与另一个单 向应力状态叠加,可能是单向、二向或零应力状态;一个单向应力状态与一个 向应力状态叠加,可能是单向、二向或三向应力状态;……。也就是说,一个应 状态与另一个应力状态叠加,不一定属于原有应力状态 对于平面应力状态,由于必有一个主应力为零的主方向,可以用与该方向相 垂直的平面单元来表示单元体,例如图9.1(c)示各单元体,可以用图9.1(d) 示平面单元表示。这时,应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度 在材料力学中所遇到的应力状态,主要为平面应力状态。本章重点讨论平面 应力状态有关问题。 2、平面应力状态分析 在本节中,将介绍在平面应力状态下,如何根据单元体各面上的已知应力来 确定任意斜截面上的应力。 在以下讨论中,取平面单元位于xy平面内,如图9.3(a)所示。已知x面 (法线平行x轴的面)上的应力a及τ,y面(法线平行于y轴的面)上有应 力σ、及τx。根据切应力互等定理rs=r、。现在需要求与z轴平行的任意斜截 面ab上的应力。设斜截面ab的外法线n与x轴成a角,以后简称该斜截面为a 面,并用aa及xa分别表示a面上的正应力及切应力。 将应力、a角正负号规定为 a角:从x方向反时针转至a面外法线n的a角为正值;反之为负值。a角 的取值区间为[0,x或[-z/2,x/2]
一点处的三个主应力，通常按其代数值依次用 1 2 3 来表示，如图（c） 中 a、d 单元体，虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力，但须分别 用 1， 3 表示。根据一点处存在几个不为零的主应力，可以将应力状态分为三 类： 1）单向（或简单）应力状态：三个主应力中只有一个主应力不为零，如图 9.2（a）所示。 2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不为零，如图 9.2（b）所示。 3）三向（或空间）应力状态：三个主应力均不为零，如图 9.2（c）所示。 图 9.2 单向及二向应力状态常称为平面应力状态（plane state of stresses）。二 向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为，一个单向应力状态与另一个单 向应力状态叠加，可能是单向、二向或零应力状态；一个单向应力状态与一个二 向应力状态叠加，可能是单向、二向或三向应力状态；……。也就是说，一个应 状态与另一个应力状态叠加，不一定属于原有应力状态。 对于平面应力状态，由于必有一个主应力为零的主方向，可以用与该方向相 垂直的平面单元来表示单元体，例如图 9.1（c）示各单元体，可以用图 9.1（d） 示平面单元表示。这时，应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度。 在材料力学中所遇到的应力状态，主要为平面应力状态。本章重点讨论平面 应力状态有关问题。 2、平面应力状态分析 在本节中,将介绍在平面应力状态下，如何根据单元体各面上的已知应力来 确定任意斜截面上的应力。 在以下讨论中，取平面单元位于 xy 平面内，如图 9.3（a）所示。已知 x 面 （法线平行 x 轴的面）上的应力 x 及 xy ，y 面（法线平行于 y 轴的面）上有应 力 y 及 y x 。根据切应力互等定理 xy yx = 。现在需要求与 z 轴平行的任意斜截 面 ab 上的应力。设斜截面 ab 的外法线 n 与 x 轴成 角，以后简称该斜截面为 面，并用 α 及 α 分别表示 面上的正应力及切应力。 将应力、 角正负号规定为： 角：从 x 方向反时针转至 面外法线 n 的 角为正值；反之为负值。 角 的取值区间为 [0, ] 或 [− / 2, / 2]
正应力:拉应力为正,压应力为负。 切应力:使微元体产生顺时针方向转动趋势为正;反之为负。或者,截面外 法线矢顺时针向转90°后的方向为正:反之为负 求α面上的应力σ、τ的方法,有解析法和图解法两种。分别介绍如下: 2.1解析法 利用截面法,沿截面ab将图9.3(a)示单元切成两部分,取其左边部分为 研究对象。设a面的面积为dA,则x面、y面的面积分别为 d a cosa及 d asin a 于是,得研究对象的受力情况如图(b)示。该部分沿α面法向及切向的平衡方 程分别为: TrdAcosa (a) (b) 图9.3 oa dA+ox cosa+Tw sina)d Acosa+(o sina+Tw cosa)d Asin a=0 Ia d A+(ox sin a-T cosa)d A cosa+(o, cosa+Tvx sin)d Asina=0 由此得 oo=o cos" a+o, sin- a-(T+ty) a cosa Ta=(ox-0y)sin cosa+txy cos- a-Tyx sn a 由s=yx,cos2a=(1+os2a)/2,sm2a=(-cos2a)/2及2 sinuosa=sn2a,式(a) 可改写为: cos 2a -I sin 2a (9.1) 十 这就是斜面上应力的计算公式。应用时一定要遵循应力及a角的符号规定。如 果用α+90°替代式(9.1)第一式中的α,则 0-0 从而有 ,+σ
正应力：拉应力为正，压应力为负。 切应力：使微元体产生顺时针方向转动趋势为正；反之为负。或者，截面外 法线矢顺时针向转 90 后的方向为正；反之为负。 求 面上的应力 α 、 α 的方法，有解析法和图解法两种。分别介绍如下： 2.1 解析法 利用截面法，沿截面 ab 将图 9.3（a）示单元切成两部分，取其左边部分为 研究对象。设 面的面积为 dA，则 x 面、y 面的面积分别为 d Acos 及 d Asin 。 于是，得研究对象的受力情况如图（b）示。该部分沿 面法向及切向的平衡方 程分别为： 图 9.3 d A+(− x cos + xy sin)d Acos +(− y sin + yx cos)d Asin = 0 d A+(− x sin − xy cos)d Acos +( y cos + yx sin)d Asin = 0 由此得 = − + − = + − + 2 yx 2 x y xy xy yx 2 y 2 x ( )sin cos cos sin cos sin ( )sin cos （a） 由 xy yx = ，cos (1 cos2 )/ 2 2 = + ，sin (1 cos2 )/ 2 2 = − 及 2sin cos = sin 2 ，式（a） 可改写为： + − = − − + + = sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y （9.1） 这就是斜面上应力的计算公式。应用时一定要遵循应力及 角的符号规定。如 果用 + 90 替代式（9.1）第一式中的 ，则： cos2 sin 2 2 2 xy x y x y 90 + − − + = + 从而有 + +90 = x + y （9.2）
可见,在平面应力状态下,一点处与z轴平行的两相互垂直面上的正应力的代 数和是一个不变量。 由式(9.1)可知,斜截面上的应力σ、x均为a角的函数,即它们的大小 和方向随斜截面的方位而变化。现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力 对于斜截面上的正应力σ,设极值时的a角为ao,由daa/da=0得 (ox -ov)sin 2ao-2Tx cos 2c 可见,σ取极值的截面上切应力为零,即G的极值便是单元体的主应力。这时 的a0可由上式求得为 (9.3) 式(9.3)的a0在取值区间内有两个根a0及a0±90°,它说明与aa有关的两个极 值(主应力)的作用面(主平面)是相互垂直的。在按式(9.3)求a0时,可以 视mn2ao=(-2xs)/σx-ay),并按(2xs)、ax-σy、(-2rs)(ax-σ)的正负号来判 定sin2ao、cos2ao、tan2a0的正负符号,从而唯一地确定2a0或a0值。于是有 )2+4r2 2a 将以上各式代入式(9.1)的第一式,得σn的两个极值am(对应a0面)、omn (对应a0±90°面)为 y (9.4) 可以证明,式(9.4)中τ的指向,是介于仅由单元体切应力m=r产生的主 拉应力指向(与x轴夹角为45或-45°)与单元体正应力ax、σ中代数值较大的 一个正应力指向之间。 式(9.4)的σm、σm为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力, 它的另一个主应力为零。至于如何根据这三个主应力来排列G1、σ2、o3的次序
可见，在平面应力状态下，一点处与 z 轴平行的两相互垂直面上的正应力的代 数和是一个不变量。 由式（9.1）可知，斜截面上的应力 、 均为 角的函数，即它们的大小 和方向随斜截面的方位而变化。现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力。 对于斜截面上的正应力 ，设极值时的 角为 0 ，由 d / d = 0 得 ( )sin 2 2 cos 2 2 0 d d x y 0 xy 0 0 = − − − = − = 可见， 取极值的截面上切应力为零，即 的极值便是单元体的主应力。这时 的 0 可由上式求得为： x y xy 0 2 tan 2 − − = （9.3） 式（9.3）的 0 在取值区间内有两个根 0 及 0 90 ，它说明与 有关的两个极 值（主应力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（9.3）求 0 时，可以 视 tan 2 ( 2 )/( ) 0 xy x y = − − ，并按 ( 2 ) xy − 、 x − y、( 2 )/( ) xy x y − − 的正负号来判 定 2 0 sin 、 2 0 cos 、 2 0 tan 的正负符号，从而唯一地确定 2 0 或 0 值。于是有 2 xy 2 x y xy 0 ( ) 4 2 sin 2 − + − = ， 2 xy 2 x y x y 0 ( ) 4 cos 2 − + − = 0 2 0 sin 2( 90 ) = −sin ， 0 2 0 cos2( 90 ) = −cos 将以上各式代入式（9.1）的第一式，得 的两个极值 max （对应 0 面）、 min （对应 0 90 面）为： 2 xy 2 x y x y min max 2 2 + − + = （9.4） 可以证明，式（9.4）中 max 的指向，是介于仅由单元体切应力 yx = xy 产生的主 拉应力指向（与 x 轴夹角为 45 或 −45 ）与单元体正应力 σ x 、σ y 中代数值较大的 一个正应力指向之间。 式（9.4）的 max 、 min 为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力， 它的另一个主应力为零。至于如何根据这三个主应力来排列 1、 2 、 3 的次序