2.剪切变形时的应变能及比能 为了分析的方便,从受剪切杆中截取如图14.3a所示的单元体,该单元体处 于纯剪切应力状态,假想其在一个面(如左侧面)上被固定起来,则在剪应力由 零逐渐增加到τ值的过程中,单元体将发生如图所示的变形,与此对应的剪应变 由零增加到γ值,其右侧面向下的位移为△=yx。当材料在线弹性范围内工作 时,其τ与y成正比(图14.3b),与图14.2a、b中所示受拉杆的相应图形类 似。所以,单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为 dw=-(rdyd=).A=-(royde(rdx) 上式中,作功的力是单元体右侧面上的剪力。由于剪应变y很小,其余各面 上的剪力,在其作用方向上没有位移,都没有在其作用方向上作功。故单元体内 积蓄的应变能为 TI (a) (b) 图14.3 d=、l 单元体内积蓄的应变比能则为 这表明,ν等于r^γ直线下的面积。由剪切胡克定律r=Gy,比能又可以 写成下列形式
2．剪切变形时的应变能及比能 为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图 14.3 a 所示的单元体，该单元体处 于纯剪切应力状态，假想其在一个面（如左侧面）上被固定起来，则在剪应力由 零逐渐增加到 值的过程中，单元体将发生如图所示的变形，与此对应的剪应变 由零增加到 值，其右侧面向下的位移为 = dx 。当材料在线弹性范围内工作 时，其 与 成正比（图 14.3 b ），与图 14.2 a、b 中所示受拉杆的相应图形类 似。所以，单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为 = ( ) 2 1 dW dydz ( )( ) 2 1 = dydz dx 上式中，作功的力是单元体右侧面上的剪力。由于剪应变 很小，其余各面 上的剪力，在其作用方向上没有位移，都没有在其作用方向上作功。故单元体内 积蓄的应变能为 图 14.3 dV = dW = dV 2 1 单元体内积蓄的应变比能则为 v dV dV = 2 1 = 这表明， v 等于 ~ 直线下的面积。由剪切胡克定律 = G ，比能又可以 写成下列形式
(14.7) 2G2 3.圆轴扭转时的应变能及比能 如图14.4a所示的受扭圆轴,若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T 则在线弹性范围内,相对扭转角与扭转力偶矩T间的关系是一条直线(图 14.4b)。与轴向拉伸杆件相似,扭转圆轴的应变能应为 T a 图14.4 V=W=7 由于圆轴横截面上的扭矩M=T,且 M 所以,受扭圆轴的应变能为 GⅠ 实际上,受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态,因而可 以直接采用公式(14.7),求积分即得杆件的应变能。因为剪应力r=M,所
v = 2 2 2 1 2 2 G G = = （14.7） 3. 圆轴扭转时的应变能及比能 如图 14.4 a 所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值 T ， 则在线弹性范围内，相对扭转角 与扭转力偶矩 T 间的关系是一条直线（图 14.4 b ）。与轴向拉伸杆件相似，扭转圆轴的应变能应为 图 14.4 V W T 2 1 = = 由于圆轴横截面上的扭矩 M x = T ，且 P x GI M l = 所以，受扭圆轴的应变能为 P x GI l M V 2 2 = l GIP 2 2 = （14.8） 实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因而可 以直接采用公式（14.7），求积分即得杆件的应变能。因为剪应力 P x I M = ，所 以