第十一章组合变形 、教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握组合变形的概念。 掌握斜弯曲、弯扭、拉〔压)弯、偏心拉伸(压缩)等组合变形形式的概念 和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的 确定等 正确区分斜弯曲和平面弯曲。 了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 2.教学内容 讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法:叠加法 举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变 形计算 讲解弯曲和扭转组合变形内力计算、确定危险截面和危险点、强度计算。 讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度 计算。 简单介绍截面核心的概念和计算。 二、重点难点 重点:斜弯曲、弯扭、拉(压)弯、偏心拉伸(压缩)等组合变形形式的应 力和强度计算 难点: 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的 基本变形: 斜弯曲一一分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲; 弯曲和扭转组合变形一—分解为平面弯曲和扭转 拉伸(压缩)和弯曲组合变形一一分解为轴向拉伸(压缩)和平面弯曲(因 剪力较小通常忽略不计); 偏心拉伸(压缩)组合变形一一单向偏心拉伸(压缩)时,分解为轴向拉伸 (压缩)和一个平面弯曲,双向偏心拉伸(压缩)时,分解为轴向拉伸(压缩) 和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算,可归纳为两类 1)、危险点为单向应力状态:斜弯曲、拉(压)弯、偏心拉伸(压缩)组合
第 十 一章 组 合 变 形 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握组合变形的概念。 掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念 和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的 确定等。 正确区分斜弯曲和平面弯曲。 了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 2．教学内容 讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变 形计算。 讲解弯曲和扭转组合变形内力计算、确定危险截面和危险点、强度计算。 讲解拉伸（压缩）和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 讲解偏心拉伸（压缩）组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度 计算。 简单介绍截面核心的概念和计算。 二、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应 力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的 基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因 剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸 （压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩） 和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： 1）、危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合
变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即 可 2)、危险点为复杂应力状态:弯扭组合变形的强度计算时,危险点处于复杂 应力状态,必须考虑强度理论。 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 五、讲课提纲 1、概述 实际工程中,许多杆件往往同时存在着几种基本变形,它们对应的应力或变 形属同一量级,在杆件设计计算时均需要同时考虑。本章将讨论此种由两种或两 种以上基本变形组合的情况,统称为组合变形 图11.1中,(a)图示烟囱,自重引起轴向压缩变形,风荷载引起弯曲变形; (b)图示柱,偏心力引起轴向压缩和弯曲组合变形:(c)图示传动轴和(d)图 示梁分别发生弯曲与扭转、斜弯曲组合变形。 Fpi Fp q (a) 图11.1 对于组合变形的计算,首先按静力等效原理,将荷载进行简化、分解,使每 种(组)荷载产生一种基本变形;其次,分别计算各基本变形的解(内力、应 力、变形),最后综合考虑各基本变形,确定危险截面和危险点,叠加其应力、 变形,进行强度和刚度计算。 2、斜弯曲 平面弯曲:横向力作用平面通过梁横截面弯心连线,且与横截面形心主惯性 轴所在纵面重合或平行,梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与 之平行。 斜弯曲:横向力通过梁横截面的弯心,不与形心主惯性轴重合或平行,而是 斜交,梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。 例:图11.2中给出几种常见截面,其中图(b)、(c)、(d)、(f)是斜弯曲;
变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即 可； 2）、危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂 应力状态，必须考虑强度理论。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7 学时 五、讲课提纲 1、概述 实际工程中，许多杆件往往同时存在着几种基本变形，它们对应的应力或变 形属同一量级，在杆件设计计算时均需要同时考虑。本章将讨论此种由两种或两 种以上基本变形组合的情况，统称为组合变形。 图 11.1 中，（a）图示烟囱，自重引起轴向压缩变形，风荷载引起弯曲变形； （b）图示柱，偏心力引起轴向压缩和弯曲组合变形；（c）图示传动轴和（d）图 示梁分别发生弯曲与扭转、斜弯曲组合变形。 图 11.1 对于组合变形的计算，首先按静力等效原理，将荷载进行简化、分解，使每 一种（组）荷载产生一种基本变形；其次，分别计算各基本变形的解（内力、应 力、变形），最后综合考虑各基本变形，确定危险截面和危险点，叠加其应力、 变形，进行强度和刚度计算。 2、斜弯曲 平面弯曲：横向力作用平面通过梁横截面弯心连线，且与横截面形心主惯性 轴所在纵面重合或平行，梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与 之平行。 斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或平行，而是 斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。 例：图 11.2 中给出几种常见截面，其中图（b）、（c）、（d）、（f）是斜弯曲；
图(a)是平面弯曲;图(e)是斜弯曲与扭转的组合变形。 图11.2 现以图11.3示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。设自由 端作用一个垂直于轴线的集中力F,其作用线通过截面形心(也是弯心),并与 形心主惯性轴y轴夹角为o n y 图11.3 2.1内力计算 首先将外力分解为沿截面形心主轴的两个分力: F = Fn.coso F=Fsin 其中,Fp使梁在xy平面内发生平面弯曲,中性轴为z轴,内力弯矩用M表示 Fz使梁在xz平面内发生平面弯曲,中性轴为y轴,内力弯矩用M表示。在应 力计算时,因为梁的强度主要由正应力控制,所以通常只考虑弯矩引起的正力, 而不计切应力。 任意横截面mn上的内力为 M:=Fpy (-x)=Fp(-x)cosp=Coso
图（a）是平面弯曲；图（e）是斜弯曲与扭转的组合变形。 图 11.2 现以图 11.3 示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。设自由 端作用一个垂直于轴线的集中力 Fp ，其作用线通过截面形心（也是弯心），并与 形心主惯性轴 y 轴夹角为 。 图 11.3 2.1 内力计算 首先将外力分解为沿截面形心主轴的两个分力： Fpy = Fp cos Fpz = Fp sin 其中， Fpy 使梁在 xy 平面内发生平面弯曲，中性轴为 z 轴，内力弯矩用 Mz表示； Fpz 使梁在 xz 平面内发生平面弯曲，中性轴为 y 轴，内力弯矩用 My表示。在应 力计算时，因为梁的强度主要由正应力控制，所以通常只考虑弯矩引起的正力， 而不计切应力。 任意横截面 mn 上的内力为 Mz = Fpy (l − x) = Fp (l − x) cos = M cos
M, =F-(l-x)=F,(-x 式中,M=Fn(-x)是横截面上的总弯矩。 2.2应力分析 横截面m上第一象限内任一点k(y,z)处,对应于M、M,引起的正应力 分别为 McOs 式中1,、2分别为横截面对y、z轴的惯性矩 因为a和σ都垂直于横截面,所以k点的正应力为 (11.1) 注意:求横截面上任一点的正力时,只需将此点的坐标(含符号)代入上式 即可 2.3中性轴的确定 设中性轴上各点的坐标为(y0,),因为中性轴上各点的正应力等于零 于是有 cos中 cos+.sin =0 (11.2) 此即为中性轴方程,可见中性轴是一条通过截面形心的直线。设中性轴与z轴夹 角为a,如图11.4示,则
M y = Fpz (l − x) = Fp (l − x)sin = M sin 式中， M F (l x) = p − 是横截面上的总弯矩。 2 2 M = M z + M y 2.2 应力分析 横截面 mn 上第一象限内任一点 k（y,z）处，对应于 M z 、M y 引起的正应力 分别为 y I M y I M z z z cos ' = − = − z I M z I M y y y sin = − = − 式中 y I 、 z I 分别为横截面对 y、z 轴的惯性矩。 因为 ' 和 都垂直于横截面，所以 k 点的正应力为 = + = − + z y I z I y M cos sin ' （11.1） 注意：求横截面上任一点的正力时，只需将此点的坐标（含符号）代入上式 即可。 2.3 中性轴的确定 设中性轴上各点的坐标为（ 0 y ， 0 z ），因为中性轴上各点的正应力等于零， 于是有 cos sin 0 0 0 = = − + z y I I M y z 即 cos sin 0 0 0 + = z y I z I y （11.2） 此即为中性轴方程，可见中性轴是一条通过截面形心的直线。设中性轴与 z 轴夹 角为 ，如图 11.4 示，则 tan tan 0 0 y z I I z y = =
中性轴 中性轴 F (b) 图13.4 上式表明:①中性轴的位置只与g和截面的形状、大小有关,而与外力的大 小无关;②一般情况下,,≠l2,则a≠9,即中性轴不与外力作用平面垂直;③ 对于圆形、正方形和正多边形,通过形心的轴都是形心主轴,,=l2,则a=q, 此时梁不会发生斜弯曲。 2.4强度计算 危险点发生在弯矩最大截面上距中性轴最远的地方,对于图11.3示梁,两 个方向的弯矩M.、M在固定端截面上最大,所以危险截面为固定端截面。M.产 生的最大拉应力发生在AB边上,M,产生的最大拉应力发生在BD边上,所以梁 的最大拉应力发生在B点。同理最大压应力发生在C点,因为此两点处于单向拉 伸或单向压缩应力状态,可得强度条件为 M mux s\ laI 若截面形状无明显的棱角时,如图11.4(b)示,则作中性轴的平行线并与 截面相切于D1、D2两点,此两点的正应力即为最大正应力。 五、变形计算 现用叠加原理计算图11.3示梁自由端挠度 Fn、Fn分别引起梁在xy、xz平面内的自由端挠度为 =3E1,=3EEC0 13F
上式表明：①中性轴的位置只与 和截面的形状、大小有关，而与外力的大 小无关；②一般情况下， y z I I ，则 ，即中性轴不与外力作用平面垂直；③ 对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴， y z I = I ，则 = ， 此时梁不会发生斜弯曲。 2.4 强度计算 危险点发生在弯矩最大截面上距中性轴最远的地方，对于图 11.3 示梁，两 个方向的弯矩 M z 、M y 在固定端截面上最大，所以危险截面为固定端截面。 M z 产 生的最大拉应力发生在 AB 边上， M y 产生的最大拉应力发生在 BD 边上，所以梁 的最大拉应力发生在 B 点。同理最大压应力发生在 C 点，因为此两点处于单向拉 伸或单向压缩应力状态，可得强度条件为 [ ] max max max = + y y z z W M W M （11.3） 若截面形状无明显的棱角时，如图 11.4（b）示，则作中性轴的平行线并与 截面相切于 D1、 D2 两点，此两点的正应力即为最大正应力。 五、变形计算 现用叠加原理计算图 11.3 示梁自由端挠度 Fpy、 Fpz 分别引起梁在 xy、xz 平面内的自由端挠度为 cos 3 3 3 3 EIz F l EI F l p z py y = = sin 3 3 3 3 y p y pz z EI F l EI F l = =