第六章弯曲应力 、教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程,理解推导中所作 的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义 掌握各种形状截面梁(矩形、圆形、圆环形、工字形)横截面上切应力 的分布和计算。 熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发,掌握提高弯曲强度的若干措施。 理解等强度梁的概念。 确定薄壁杄件切应力流的方向。 理解弯曲中心对开口薄壁杄件的重要性,掌握确定弯曲中心的方法。 教学内容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的切应力 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杄件的切应力流和弯曲中心。 二、重点难点 重点:纯弯曲梁橫截面上正应力公式的分析推导 横力弯曲橫截面上正应力的计算,最大拉应力和最大压应力的计算。 弯曲的强度计算 弯曲横截面上的剪应力
第 六章 弯曲应力 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作 的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力 的分布和计算。 熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 理解等强度梁的概念。 确定薄壁杆件切应力流的方向。 理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。 2．教学内容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的切应力 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 二、重点难点 重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。 横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算。 弯曲的强度计算。 弯曲横截面上的剪应力
难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念 重点处理:从弯曲变形的特点出发,让学生了解两个应力的分布规律,并对两个应力的 分布进行对比,加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方 法,结合T型截面梁铸铁梁这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练。 难点处理:结合梁弯曲变形的特点,推导两个应力公式,在推导中,充分利用前面的 知识,发挥学生的主动性,让学生自己选择解决方法,加强学生对内容的掌握。对照 M τ=-′的推导消化难点,以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方 向平面弯曲理解弯曲中心 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 8学时 五、讲课提纲 1、弯曲正应力 11纯弯曲时的正应力 图所示简支梁CD,载荷P作用在梁的纵向对称面内,梁的弯曲为平面弯曲,其计算简 图如图所示。从CD梁的剪力图和弯矩图可以看到,AC和DB梁段的各横截面上,剪力和 弯矩同时存在,这种弯曲称为横力弯曲:而在AB梁段内,横截面上则只有弯矩而没有剪力, 这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时,d=Q≠0
难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念。 重点处理：从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的 分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方 法，结合 T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。 难点处理： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的 知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照 A N = , p t I M = 的推导消化难点，以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方 向平面弯曲理解弯曲中心。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 8 学时 五、讲课提纲 1、弯曲正应力 1.1 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁 CD，载荷 P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为平面弯曲，其计算简 图如图所示。从 CD 梁的剪力图和弯矩图可以看到， AC 和 DB 梁段的各横截面上，剪力和 弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在 AB 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力， 这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， = Q 0 dx dM 。 Q M x x a a A B C D P P
可以知道,粱的各截面上弯矩是不同的:纯弯曲时,由于aM=Q=0,可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值,即M=常量。 下面,首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力 纯弯曲时,根据梁的静力关系知道,横截面上的正应力组成的内力系的合力矩即为 弯矩M。但是,只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的,因此,所研究的问题是超 静定的。和拉(压)杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样,必须综合考虑梁的变形关 系、物理关系和静力关系进行分析。 1.1.1变形几何关系 1、实验观察 为了分析梁的关系,变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横 线,分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验,可以观察 以下现象: (1)梁上的纵线(包括轴线)都弯曲成圆弧曲线,靠近梁凹侧一边的纵线缩短,而靠 近凸侧一边的纵线伸长。 (2)梁上的横线仍为直线,各横线间发生相对转动,不再相互平行,但仍与梁弯曲后 的轴线垂直 (3)在梁的纵线伸长区,梁的宽度减小:;而在梁的纵线缩短区,梁的宽度增大 中性层:梁内某一层纤维既不伸长也不缩短,因而这层纤维既不受拉应力,也 不受压应力,这层纤维称为中性层。 中性轴:中性层与梁横截面的交线。如图 中性轴 中性面
可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 = Q = 0 dx dM ，可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值，即 M =常量。 下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力 组成的内力系的合力矩即为 弯矩 M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超 静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关 系、物理关系和静力关系进行分析。 1.1.1 变形几何关系 1、实验观察 为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横 线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察 以下现象： （1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠 近凸侧一边的纵线伸长。 （2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后 的轴线垂直。 （3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大。 中性层 ：梁内某一层纤维既不伸长也不缩短，因而这层纤维既不受拉应力，也 不受压应力，这层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。如图 a a b b m m n n 中性轴
2、假设 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象,经过判断、综合和推理,可作出如下假设 (1)梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面,并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只 是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 (2)梁的纵向纤维间无挤压,只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 3、几何关系 为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律,如图所示,用横截面m-m和 n-n从梁中截取出长为dx的一个微段。从图中可以看到,横截面m-m和nn间相对转过的 角度为dO,中性层OO,曲率半径为ρ,距中性层为y处的任一纵线(纵向纤维)ab为 圆弧曲线。因此,纵线ab的伸长为 A/=(p+y)dB-dx=(p+y)d8-Ado=yde 而其线应变为 d 由于中性层等远的各纵向纤维变形相同,所以,公式线应变E即为横截面上坐标为y的所有 各点处的纵向纤维的线应变
2、假设 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只 是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 （2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 3、几何关系 为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面 m-m 和 n-n 从梁中截取出长为 dx 的一个微段。从图中可以看到，横截面 m-m 和 n-n 间相对转过的 角度为 d ，中性层 O1O2 曲率半径为 ，距中性层为 y 处的任一纵线（纵向纤维） ab 为 圆弧曲线。因此，纵线 ab 的伸长为 l = ( + y)d − dx = ( + y)d − d = yd 而其线应变为 y d yd e l = = = 由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变 即为横截面上坐标为 y 的所有 各点处的纵向纤维的线应变
1.1.2物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压,而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限σ。时,可由胡克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为 g= Es 该式表明,横截面上各点的正应力a与点的坐标y成正比,由于截面上一为常数,说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布,如图所示。中性轴上各点的正应力均为零,中 性轴上部横截面的各点均为压应力,而下部各点则均为拉应力 1.1.3静力关系 odd 图所示梁的横截面的形心直角坐标系O-xyz中,Z轴为截面的中性轴。横截面上坐标 为(y,)的点的正应力为a,截面上各点的微内力a·dA组成与横截面垂直的空间平行力 系(图中只画出了该平行力系中的一个微内力,O为横截面的形心)。这个内力系只可能简 化为三个内力分量,即平行于x轴的轴力N,对z轴的力矩M2和对y轴的力偶矩My,分 别为 N yodA 在纯弯情况下,梁横截面上只有弯矩M2=M,而轴力N和M,皆为零 由N=0,有
1.1.2 物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限 p 时，可由胡克定律得到横截面上坐标为 y 处各点的正应力为 y E E = = 该式表明，横截面上各点的正应力 与点的坐标 y 成正比，由于截面上 E 为常数，说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 1.1.3 静力关系 图所示梁的横截面的形心直角坐标系 O − xyz 中，Z 轴为截面的中性轴。横截面上坐标 为 ( y,z) 的点的正应力为 ，截面上各点的微内力 dA 组成与横截面垂直的空间平行力 系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，O 为横截面的形心）。这个内力系只可能简 化为三个内力分量，即平行于 x 轴的轴力 N ，对 z 轴的力矩 Mz 和对 y 轴的力偶矩 M y ，分 别为 = A N dA = A M y z dA = A M z y dA 在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩 Mz = M ，而轴力 N 和 M y 皆为零。 由 N = 0 ，有