那一点决定于投资比重X和Ⅻ);当p<1时,代表组合P的收益和风险所有点的集合是一条向后弯 的曲线,表明在同等风险水平下收益更大,或者说在同等收益水平下风险更小,p越小,往后弯的 程度越大;p=-1,是一条后弯的折线 B 图7-4双证券组合收益、风险与相关系数的关系 (二)三个证券组合的收益和风险的衡量 假设X1、K、X分别为投资于证券1、证券2、证券3的投资百分比,X1+X2+X=1, 为其预期收益 o2、o32为方差,o2、o1、023为协方差,则三证券组合的预期收益率Rp 为 RP=XI R1+X, R2+X3R3 (7.10) 三风险证券组合的风险为 0p2=X2o12+X2o2+X32o32+2XX2o12+2X1X3013+2X2X3023 (7.11) (三)N个证券组合收益和风险的衡量 1、N个证券组合的收益 由上面的分析可知证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平 均数,权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例,用公式表示 R。=∑XR (7.12) 其中:X1是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数,R1是证券i的预期收益率,n是证 券组合中不同证券的总数。 2.N个证券组合的风险 证券组合的风险(用标准差表示)的计算就不能简单地把组合中每个证券的标准差进行加权平均 而得到,其计算公式为: =,)∑xx (7.13) 其中:n是组合中不同证券的总数目,X1和X分别是证券i和证券j投资资金占总投资额的 比例,σ是证券i和证券j可能收益率的协方差。 公式(7.13)也可以用矩阵来表示,双加号∑∑意味着把方阵(n×n)的所有元素相加,假 定n等于4,即该证券组合的方差为以下矩阵中各元素之和,该矩阵称为方差协方差矩阵( Variance Covariance Matrix)
130 那一点决定于投资比重 XA 和 XB）;当ρ<1 时，代表组合 P 的收益和风险所有点的集合是一条向后弯 的曲线，表明在同等风险水平下收益更大，或者说在同等收益水平下风险更小，ρ越小，往后弯的 程度越大;ρ=-1，是一条后弯的折线。 R B = −1 = 1 A 图 7-4 双证券组合收益、风险与相关系数的关系 （二） 三个证券组合的收益和风险的衡量 假设 X1、X2、X3 分别为投资于证券 1、证券 2、证券 3 的投资百分比，X1+X2+X3=1, R 1、R 2、 R 3 为其预期收益，σ1 2、σ2 2、σ3 2 为方差，σ12、σ13、σ23 为协方差，则三证券组合的预期收益率 R P 为： R P=X1 R 1+X2 R 2+X3 R 3 （7.10） 三风险证券组合的风险为： σP 2 =X1 2σ1 2 + X2 2σ2 2 + X3 2σ3 2 +2X1X2σ12+2X1X3σ13+2X2X3σ23 （7.11） (三)N 个证券组合收益和风险的衡量 1、 N 个证券组合的收益 由上面的分析可知,证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平 均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式表示： = = n i Rp Xi Ri 1 （7.12） 其中：Xi 是投资于 i 证券的资金占总投资额的比例或权数， R i 是证券 i 的预期收益率，n 是证 券组合中不同证券的总数。 2．N 个证券组合的风险 证券组合的风险(用标准差表示)的计算就不能简单地把组合中每个证券的标准差进行加权平均 而得到，其计算公式为： = = = n i n j Xi X j ij 1 1 （7.13） 其中：n 是组合中不同证券的总数目，Xi 和 Xj 分别是证券 i 和证券 j 投资资金占总投资额的 比例，σij 是证券 i 和证券 j 可能收益率的协方差。 公式（7.13）也可以用矩阵来表示，双加号∑∑意味着把方阵（n×n）的所有元素相加，假 定 n 等于 4，即该证券组合的方差为以下矩阵中各元素之和，该矩阵称为方差-协方差矩阵（Variance - Covariance Matrix）
第一列 第三列 第四列 第一行XX101.XX20 XIX30 第二行X2X102 第三行X3X103 X3X23.2 X3X30 3 第四行XX1a4.1XX204 X,X30 XX,O 由上可知,证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差,而且还取决于各种证券间的协方差。 随着组合中证券数目的增加,在决定组合方差时,协方差的作用越来越大,而方差的作用越来越小 这一点可以通过考察方差-协方差矩阵看出来。在一个由两个证券组成的组合中,有两个加权方差 和两个加权协方差。但是对一个大的组合而言,总方差主要取决于任意两种证券间的协方差。例如 在一个由30种证券组成的组合中,有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所 有的证券,则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素 现举例说明如何利用公式(7.13)计算证券组合的方差和标准差。假定某一股票年预期收益 率为16%,标准差为15%,另一股票年预期收益率为14%,标准差为12%,两种股票的预计相关系数 为0.4,每种股票投资的金额各占一半,那么证券组合的预期收益率是: RP=0.5×16%+0.5×14%=15% 证券组合的方差等于下面的方差一协方差距阵的所有元素的加总 第1种股票 第2种股票 第1种股票 (0.5)2×1.0×(0.15)2 0.5×0.5×0.4×0.15×0.12 第2种股票0.5×0.5×0.4×0.12×0.15 (0.5)2×1.0×(0.12)2 因此 02=(0.5)2×1.0×(0.15)2+2×0.5×0.5×0.4×0.12×0.15+(0.5)2×1.0×(0.12)2 =0.012825 d=[0.012825]0°=11.3% 从上例可知,只要两种证券的相关系数小于1,证券组合的标准差就要小于两种证券的标准差 的加权平均数0.5×15%+0.5×12%=13.5%。实际上,不论证券组合中包括多少种证券,只要证券组合 中每对证券间的相关系数小于1,证券组合的标准差就会小于单个证券标准差的加权平均数,这意 味着只要证券的变动不完全一致的,单个有高风险的证券就能组成一个只有中低风险的证券组合 三、系统性风险的衡量 由于非系统性风险可以通过有效的证券组合来消除,所以当一个投资者拥有一个有效的证券组 合时,他(或她)所面临的就只有系统性风险了。那么如何衡量这个系统性风险呢? 如果我们把证券市场处于均衡状态时的所有证券按其市值比重组成一个“市场组合”,这个组 合的非系统性风险将等于零。这样我们就可以用某种证券的收益率和市场组合收益率之间的β系数 作为衡量这种证券系统性风险的指标。某种证券的β系数B;指的是该证券的收益率和和市场组合的 收益率的协方差0m,再除以市场组合收益率的方差σ。2,其公式为 由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的β系数β;等于该组合中各 种证券的B系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占整个组合总价值得比重X,其公式为 ③有关预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计的方法,请详见本章附录B ①市场组合的详细讨论请见第九章
131 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 X1X1σ1,1 X1X2σ1,2 X1X3σ1,3 X1X4σ1,4 第二行 X2X1σ2,1 X2X2σ2,2 X2X3σ2,3 X2X4σ2,4 第三行 X3X1σ3,1 X3X2σ3,2 X3X3σ3,3 X3X4σ3,4 第四行 X4X1σ4,1 X4X2σ4,2 X4X3σ4,3 X4X4σ4,4 由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。 随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。 这一点可以通过考察方差-协方差矩阵看出来。在一个由两个证券组成的组合中，有两个加权方差 和两个加权协方差。但是对一个大的组合而言，总方差主要取决于任意两种证券间的协方差。例如， 在一个由 30 种证券组成的组合中，有 30 个方差和 870 个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所 有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。 现举例说明如何利用公式（7.13）计算证券组合的方差和标准差③。假定某一股票年预期收益 率为 16%，标准差为 15%，另一股票年预期收益率为 14%，标准差为 12%，两种股票的预计相关系数 为 0.4，每种股票投资的金额各占一半，那么证券组合的预期收益率是： RP =0.5×16%+0.5×14%=15% 证券组合的方差等于下面的方差-协方差距阵的所有元素的加总。 第 1 种股票 第 2 种股票 第 1 种股票 (0.5)2×1.0×(0.15)2 0.5×0.5×0.4×0.15×0.12 第 2 种股票 0.5×0.5×0.4×0.12×0.15 (0.5)2×1.0×(0.12)2 因此 σ 2 = (0.5)2×1.0×(0.15)2 +2×0.5×0.5×0.4×0.12×0.15+ (0.5)2×1.0×(0.12)2 =0.012825 σ=[0.012825]0.5=11.3% 从上例可知，只要两种证券的相关系数小于 1，证券组合的标准差就要小于两种证券的标准差 的加权平均数 0.515%+0.512%=13.5%。实际上，不论证券组合中包括多少种证券，只要证券组合 中每对证券间的相关系数小于 1，证券组合的标准差就会小于单个证券标准差的加权平均数，这意 味着只要证券的变动不完全一致的，单个有高风险的证券就能组成一个只有中低风险的证券组合。 三、系统性风险的衡量 由于非系统性风险可以通过有效的证券组合来消除,所以当一个投资者拥有一个有效的证券组 合时,他(或她)所面临的就只有系统性风险了。那么如何衡量这个系统性风险呢？ 如果我们把证券市场处于均衡状态时的所有证券按其市值比重组成一个“市场组合”，这个组 合的非系统性风险将等于零。这样我们就可以用某种证券的收益率和市场组合收益率之间的β系数 作为衡量这种证券系统性风险的指标。某种证券的β系数βi 指的是该证券的收益率和和市场组合的 收益率的协方差σim，再除以市场组合收益率的方差σm 2，其公式为： βi=σim /σm 2 (7.14) 由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的β系数βi 等于该组合中各 种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占整个组合总价值得比重 Xi,其公式为: ③有关预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计的方法，请详见本章附录 B。 市场组合的详细讨论请见第九章
Bn=∑XB (7.15) 如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险跟市场组合的系统性风险完全一样 如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合;如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场 组合;如果β系数等于0,说明没有系统性风险。 第三节证券组合与分散风险 不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”,如果将这句古老的谚语应用在投资决策中,就是说不 要将所有的钱投资于同一证券上,通过分散投资可以降低投资风险,这是一个非常浅显易懂的道理 那么,应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢?将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢 如前所述,证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重,还决定于两个证券收益的 协方差或相关系数,而协方差或相关系数起着特别重要的作用。因此投资者建立的证券组合就不是 一般地拼凑,而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。 当我们利用长时期的历史资料比较一个充分分散的证券组合和单一股票的收益和风险特征时, 就会发现有个奇怪的现象。例如,在1989年1月至1993年12月间,IBM股票的月平均收益率为-0.61% 标准差为7.65%。而同期标准普尔500(S&P500)的月平均收益率和标准差分别为了1.2%和3.74%, 即虽然IBM收益率的标准差大大高于标准普尔500指数的标准差,但是其月平均收益率却低于标准 普尔500指数的月平均收益率。为什么会出现风险高的股票其收益率反而会低的现象呢? 原因在于每个证券的全部风险并非完全相关,构成一个证券组合时,单一证券收益率变化的 部分就可能被其他证券收益率反向变化所减弱或者完全抵消。事实上,可以发现证券组合的标准差 一般都低于组合中单一证券的标准差,因为各组成证券的总风险已经分散化而大量抵消。只要通过 分散化就可以使总风险大量抵消,我们就没有理由使预期收益率与总风险相对应;与投资预期收益 率相对应的只能是通过分散投资不能相互抵消的那一部分风险,即系统性风险。 根据证券组合预期收益率和风险的计算公式可知,不管组合中证券的数量是多少,证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会影响到组合的收益率。但是分散投资可以降 低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明 显。当然,在现实的证券市场上,大多数情况是各个证券收益之间存在一定的正相关关系,相关的 程度有高有低。有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合,以保证在一定的预期收 益率水平上尽可能降低风险。 从理论上讲,一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券,就完全有可能消除所有的 风险,但是在现实的证券市场上,各证券收益率的正相关程度很高,因为各证券的收益率在一定程度 上受同一因素影响(如经济周期、利率的变化等),因此,分散投资可以消除证券组合的非系统性风 险,但是并不能消除系统性风险。 韦恩·韦格纳( Wayne Wagner)和谢拉·劳( Sheila lau)根据1960年7月标准普尔的股票质量分级 把200种在纽约证券交易所上市的股票样本分成六组,最高质量等级A+构成第一组,依次类推,从 每一组股票中随机抽取1至20只股票组成证券组合,计算每一组合从1960年7月至1970年5月十 年间的每月收益率,这一工作连续进行十次以减少对单一样本的依赖,然后对十个数值进行平均。 WAgner, W, and S. Lau, 1971, "The Effect of Diversification on Risks, "Financial Analyst Journal, November-December 48-53
132 (7.15) 如果一种证券或证券组合的β系数等于 1,说明其系统性风险跟市场组合的系统性风险完全一样; 如果β系数大于 1,说明其系统性风险大于市场组合;如果β系数小于 1,说明其系统性风险小于市场 组合;如果β系数等于 0,说明没有系统性风险。 第三节 证券组合与分散风险 “不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”，如果将这句古老的谚语应用在投资决策中，就是说不 要将所有的钱投资于同一证券上，通过分散投资可以降低投资风险，这是一个非常浅显易懂的道理。 那么，应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢？将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢？ 如前所述，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于两个证券收益的 协方差或相关系数，而协方差或相关系数起着特别重要的作用。因此投资者建立的证券组合就不是 一般地拼凑，而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。 当我们利用长时期的历史资料比较一个充分分散的证券组合和单一股票的收益和风险特征时， 就会发现有个奇怪的现象。例如，在1989年1月至1993年12月间，IBM股票的月平均收益率为-0.61%， 标准差为 7.65%。而同期标准普尔 500（S&P500）的月平均收益率和标准差分别为了 1.2%和 3.74%， 即虽然 IBM 收益率的标准差大大高于标准普尔 500 指数的标准差，但是其月平均收益率却低于标准 普尔 500 指数的月平均收益率。为什么会出现风险高的股票其收益率反而会低的现象呢？ 原因在于每个证券的全部风险并非完全相关，构成一个证券组合时，单一证券收益率变化的一 部分就可能被其他证券收益率反向变化所减弱或者完全抵消。事实上，可以发现证券组合的标准差 一般都低于组合中单一证券的标准差，因为各组成证券的总风险已经分散化而大量抵消。只要通过 分散化就可以使总风险大量抵消，我们就没有理由使预期收益率与总风险相对应；与投资预期收益 率相对应的只能是通过分散投资不能相互抵消的那一部分风险，即系统性风险。 根据证券组合预期收益率和风险的计算公式可知,不管组合中证券的数量是多少,证券组合的 收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会影响到组合的收益率。但是分散投资可以降 低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明 显。当然，在现实的证券市场上，大多数情况是各个证券收益之间存在一定的正相关关系，相关的 程度有高有低。有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，以保证在一定的预期收 益率水平上尽可能降低风险。 从理论上讲，一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券，就完全有可能消除所有的 风险，但是在现实的证券市场上，各证券收益率的正相关程度很高,因为各证券的收益率在一定程度 上受同一因素影响(如经济周期、利率的变化等)，因此，分散投资可以消除证券组合的非系统性风 险，但是并不能消除系统性风险。 韦恩韦格纳(Wayne Wagner)和谢拉劳(Sheila Lau)根据 1960 年 7 月标准普尔的股票质量分级 把 200 种在纽约证券交易所上市的股票样本分成六组，最高质量等级 A+构成第一组，依次类推，从 每一组股票中随机抽取 1 至 20 只股票组成证券组合，计算每一组合从 1960 年 7 月至 1970 年 5 月十 年间的每月收益率，这一工作连续进行十次以减少对单一样本的依赖，然后对十个数值进行平均①。 ①Wagner, W., and S. Lau, 1971, “The Effect of Diversification on Risks,” Financial Analyst Journal, November –December , 48-53. = = N i p X i i 1
表7-3随机抽样A+质量股票组合的风险和分散效果 (1960年6月至1970年5月) 组合中股票数量 平均收益率 标准差 与市场的 与市场的 (%/月) (%/月)|相关系数R决定系数R2 0.88 7.0 0.69 0.40 0.74 4.8 0.75 0.56 345 0.79 10 0.68 4.2 15 0.69 4.0 0.88 0.77 0.67 0.89 资料来源: Wagner,w,andS.Lau,1971," The effect of Diversification on risks;” Financial Analyst Journal. November-December. P53 表7-3中的决定系数R为相关系数的平方值,其取值范围从0到1,它用以衡量证券组合的收 益率变动(用方差表示)中可归因于市场收益率的比例,剩下的风险是组合所特有的风险,因此 个证券组合的R越接近1,这个组合越得到了充分地分散。从表中的数据可知: 1.一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只数无关,证券组合的风险随着股票只数的增加 而减少。当股票组合从一只扩大到十只股票时,证券组合风险的下降很明显,但是随着组合中股票 只数的增加,降低风险的边际效果在迅速递减,特别是当持有的股票超过10只时,下降的风险变得 微乎其微。 2.平均而言,由随机抽取的20只股票构成的股票组合的总风险降低到只包含系统性风险的水 平,单个证券风险的40%被抵消,这部分风险就是非系统性风险 3.一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市场收益率的走向密切相关。其波动性或不确定 性基本上就是市场总体的不确定性。投资者不论持有多少股票都必须承担这一部分风险 根据以上的分析,证券组合包含证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系,可用图 7-5来表示 组合收益率标准差 韭系统性风险 风险 系统性风险 组合中证券的数量 图7-5证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系
133 表 7－3 随机抽样 A+质量股票组合的风险和分散效果 （1960 年 6 月至 1970 年 5 月） 组合中股票数量 平均收益率 （%/月） 标准差 （%/月） 与市场的 相关系数 R 与市场的 决定系数 R 2 1 0.88 7.0 0.54 0.29 2 0.69 5.0 0.63 0.40 3 0.74 4.8 0.75 0.56 4 0.65 4.6 0.79 0.62 5 0.71 4.6 0.79 0.62 10 0.68 4.2 0.85 0.72 15 0.69 4.0 0.88 0.77 20 0.67 3.9 0.89 0.80 资料来源：Wagner, W., and S. Lau, 1971, “The Effect of Diversification on Risks,” Financial Analyst Journal, November –December, P53. 表 7－3 中的决定系数 R 2 为相关系数的平方值，其取值范围从 0 到 1，它用以衡量证券组合的收 益率变动（用方差表示）中可归因于市场收益率的比例，剩下的风险是组合所特有的风险，因此， 一个证券组合的 R 2 越接近 1，这个组合越得到了充分地分散。从表中的数据可知： 1．一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只数无关，证券组合的风险随着股票只数的增加 而减少。当股票组合从一只扩大到十只股票时，证券组合风险的下降很明显，但是随着组合中股票 只数的增加，降低风险的边际效果在迅速递减，特别是当持有的股票超过 10 只时，下降的风险变得 微乎其微。 2．平均而言，由随机抽取的 20 只股票构成的股票组合的总风险降低到只包含系统性风险的水 平，单个证券风险的 40%被抵消，这部分风险就是非系统性风险。 3．一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市场收益率的走向密切相关。其波动性或不确定 性基本上就是市场总体的不确定性。投资者不论持有多少股票都必须承担这一部分风险。 根据以上的分析，证券组合包含证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系，可用图 7-5 来表示： 组合收益率标准差 非系统性风险 总风险 系统性风险 组合中证券的数量 图 7-5 证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系