之和 正则系综给定后,假设只知道系综总能量为a,但并不知道 某系统处在哪个态ψ,我们要问,某系统处在ψ态上的几率是 多少? 设M/表示在的态上的系统数,E表示第个态的能量,显 然,总的系统数 M (2.5) 系综的总能量 =>M/E (2.6) 尽管我们知道了总能量d和总的系统数M,并且给定了一分 布{M},但是各系的状态仍然没有完全确定.例如,已知有3 个系统在j态,5个系统在么态,但是到底哪3个系统在j态,哪 5个系统在态,还是不确定的.很容易证明,对某一给定分布 M},系综的态数息为 M s2=M小 (2 证明如F M个系统所有不同排列的总数是M!,但是在同一状态的系统 之间的交换并不产生新的态,因此,应该把它们除去,于是(2.7) 式得证 现列举一简单的由三个系统构成的小系综为例加以说明,即 M=3 (i)如一个系统在f态,两个系统在j态,所以系练的态 3」 数9=1?2! 3. (i)如有三个系统在j态,有0个系统在}态,以系综 的态数Ω=3
这些简例的结果是明显可见的.同理,当M很大时也是正确 由此了知,尽管给定了嫘,M和分布{M;},系统的状态并不 确定.另一方面,如果仅仅给定了和M,{M小}分布并不确定 我们要问,哪种分布{M小的几率最大?根据(1,4)式的基本假 设,每种分布几率应与所对应的态数成正比,因为态越多,几 率越大.对分布几率求极大值,就悬求9的极大值.利用求微商 的方法并考虑到(2,5)和(2.6)式对M和给定的约束条件,要引 入两个拉格朗日乘子a和月.所以极值条件是 (∑M)a(∑M,E, aM, -B aMi =0.(2.8) 要准确计算几率就要要求系综中的系统数M很大,但系统本 身不一定很大,任何统计分析问题必须要重复非常多次同样的过 程才能得到较正确的几率.以掷骰子为例,掷骰子的次数越多, 几率就越接近菜-固定数,这是做一切统计问题的方法,它并不 是一个假设当M趋向无穷大时,相应地,各M;也趋向无穷大 对于M》1,可以用斯特灵公式( Stirling formula)来近似地代替 阶乘 M M:-(e)~2nM(1+12M+288F+…)(2 这一公式收敛得很快,即便M不很大也是一个很好的近似公式 读者可以自行证明这一公式.利用斯特灵公式得到 ln9=MM-M-∑MlnM;+∑M1.(2.10) 在对ln2求偏微离时,有两种不同的方法.一种方法是视M 为固定.另一种方法星视M为M的函数,因此也要对M求偏微 商.不过,所得的结果是一致的,只是a的值相差一个常数.为 筒便计,我们采用M固定的方法,得出
aIn aM I3 (2.11) M aM; (2.12) aM, E 将以上(2.11)、(2.12)和(2.13)式代入(2,8)式得 - InM9-a-BE=0 (2.14) 即 In m bej (2.15) 所以 -A-BE (2.16 (2.16)式表示在正则系综中,在系统数M给定和总能量同 定的条件下,系统处在第j态上的几率最大的分布.式中出现了 两个常数a和B以后对B的物理意义还要讨论 定义P,表示最大儿率分布时,系统处在第j态的几率 M (2,17) e AEj 定义配分函数Q≡∑eB (2.18) 它表示各个状态的相对几率之和,在(2.17)式,配分函数是 作为归一化因子出现的 在求P时就消去了a因子,B因子可以由系统的平均能量 E雪 M (2.19) 来确定, E Eie 这个等式给出一重要结果:在正则系综中,给定E,而M趋向无
限大时,P1和B与M无关 下面再来证明,在给定系统的H和E,当M趋向无穷大时, 以上的几率最大分布就是真实的分布!换言之,涨落趋向于零. 证明如下 试考虑一函数 f=f(M1)≡ln9-a2M1-B∑ME,(2.21) f达到极值的条件为 aM,=0. (2.22) 达到极值时,M,=MBP三,P;与M无关 而 aiNs aM2 aM; M, (223) 由于f的第二项和第三项均为M;的一次式,故对M1二阶以上的 微商均为零.只剩下第一项取不为零的负值.这表明极值是稳定 的 ∫对M/每求一次微商,其分母就增加一个M因子,由于M ∞,M→∞,所以高次微商很快地趋向零 用泰勒级数把f(M)在M附近展开 M=(D)+分M(My-bM)+ +>21ab=(M,-)+…(2 1 (,)-2p(M,-M)x △M M 25)
∫的极值为 子=f(M1)=1n3 BME (226) 将(2,26)和(221)式代入(2.25式)得 n92=1n2-∑(M/-M,)22MP △M ×{1+O (22 忽略高级项Q() (醒-M) MP (2,28) 所以9-2e-2p(Mn-m (229) 显然,(2.29)式系高斯分布,如图2.1所示.很像一个8函数 要证明(229)式确是--8函 数,只需证明当M→∞时,涨落趋 于零即可 涨落 M-M: MP M (MPi) 2.30) 证明:如果有一分布 图2.1 显然 △2d 而 (2,31) ay 这个积分可以简化: