《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 因此 64+20.6 K= 00 (4.69) 0 184616 0|16 式(469)给出了观测器增益矩阵K。观测器的方程由式(4.51)定义,即 x=(a-k,C)x+ Bu+key 由于 u=-Kx 所以,式(4.70)为 x=(A-K.C-BK)x+key (09011 1x.|16 936-36x2」[846 具有观测-状态反馈的系统方块图参见图46所示 参照式(466),控制器-观测器的传递函数为 =K(sl-A+K,C+BK)K -Y(s) -1r 16 =[29636] 936s+36846 778.16s+369072 s2+19.6s+1512 该系统的方块图参见图47所示 设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列状态空间表达式描述。 给定线性定常系统为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 16       =      =       = = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 [ ] a1 W R C A C T T T T  因此       =            =       − +                   = − 84.6 16 16 84.6 1 0 0 1 16 0 64 20.6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 Ke (4.69) 式（4.69）给出了观测器增益矩阵 Ke 。观测器的方程由式（4.51）定义，即 x A K C x Bu K y = − e + + e ~ ( ) ~  (4.70) 由于 u Kx ~ = − 所以，式（4.70）为 x A K C BK x K y = − e − + e ~ ( ) ~  或 y x x y x x x x       +            − − − =       +                  −       −      =         84.6 16 ~ ~ 93.6 3.6 16 1 84.6 16 ~ ~ [29.6 3.6] 1 0 [1 0] 84.6 16 20.6 0 0 1 ~ ~ 2 1 2 1 2 1   具有观测-状态反馈的系统方块图参见图 4.6 所示。 参照式（4.66），控制器-观测器的传递函数为 19.6 151.2 778.16 3690.72 84.6 16 93.6 3.6 16 1 [29.6 3.6] ( ) ( ) ( ) 2 1 1 + + + =             + + − = = − + + − − − s s s s s K sI A K C BK K Y s U s e e 该系统的方块图参见图 4.7 所示。 设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列状态空间表达式描述。 给定线性定常系统为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 20.60 -{2963.6 全维状态观测器为 x1.「16 936-36x 作为整体而言,该系统是4阶的,其系统特征方程为 s-A+B‖-A+KC|=(2+36s+9%s2+16s+64) s+19.6s3+130.6s2+374.4+576=0 该特征方程也可由图47所示的系统方块图得到。由于闭环传递函数为 Y(s) 778.16s+3690.72 R(s)(s2+196s+151.2s2-20.6)+778.16s+3690.72 则特征方程为 (s2+19.6s+151.2s-20.6)+778.16s+3690.72 s4+196s3+13062+3744s+576=0 事实上,该观测-状态反馈控制系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式 是相同的 4.5.11最小阶观测器 迄今为止,我们所讨论的观测器都是重构所有的系统状态变量。实际上,有一些状态变 量可以准确量测的。对这些可准确量测的状态变量就不必估计了 假设状态向量x为n维向量,输出向量y为可量测的m维向量。由于m个输出变量是 状态变量的线性组合,所以m个状态变量就不必进行估计,只需估计nm个状态变量即可, 因此,该降维观测器为n-m维观测器。这样的nm维观测器就是最小阶观测器。图48所示 为具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 17       = −       =       +            =      2 1 2 1 2 1 2 1 ~ [29.6 3.6] [1 0] 1 0 20.6 0 0 1 x x u x x y u x x x x    全维状态观测器为 y x x x x       +            − − − =         84.6 16 ~ ~ 93.6 3.6 16 1 ~ ~ 2 1 2 1   作为整体而言，该系统是 4 阶的，其系统特征方程为 19.6 130.6 374.4 576 0 ( 3.6 9)( 16 64) 4 3 2 2 2 = + + + + = − + − + = + + + + s s s s sI A BK sI A K C s s s s e 该特征方程也可由图 4.7 所示的系统方块图得到。由于闭环传递函数为 ( 19.6 151.2)( 20.6) 778.16 3690.72 778.16 3690.72 ( ) ( ) 2 2 + + − + + + = s s s s s R s Y s 则特征方程为 19.6 130.6 374.4 576 0 ( 19.6 151.2)( 20.6) 778.16 3690.72 4 3 2 2 2 = + + + + = + + − + + s s s s s s s s 事实上，该观测-状态反馈控制系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式 是相同的。 ------------------------------------------------------------------------------ 4.5.11 最小阶观测器 迄今为止，我们所讨论的观测器都是重构所有的系统状态变量。实际上，有一些状态变 量可以准确量测的。对这些可准确量测的状态变量就不必估计了。 假设状态向量 x 为 n 维向量，输出向量 y 为可量测的 m 维向量。由于 m 个输出变量是 状态变量的线性组合，所以 m 个状态变量就不必进行估计，只需估计 n-m 个状态变量即可， 因此，该降维观测器为 n-m 维观测器。这样的 n-m 维观测器就是最小阶观测器。图 4.8 所示 为具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 最小阶选测器 图4.8具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统 如果输出变量的量测中含有严重的噪声,且相对而言较不准确,那么利用全维观测器可 以得到更好的系统性能 为了介绍最小阶观测器的基本概念,又不涉及过于复杂的数学推导,我们将介绍输出为 纯量(即m=1)的情况,并推导最小阶观测器的状态方程。 考虑如下线性定常系统 Bu 式中,状态向量x可划分为x2(纯量)和x6(n-1维向量)两部分。这里,状态变量x等于输出 y,因而可直接量测,而x是状态向量的不可量测部分。于是,经过划分的状态方程和输出 方程为 A B (4.72) 式中,An∈R,Ab∈R(m-),An∈R Bn∈R,Bb∈R(n) 由式(471),状态可量测部分的状态方程为 x=A.x+ALx+Bu

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 18 图 4.8 具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统 如果输出变量的量测中含有严重的噪声，且相对而言较不准确，那么利用全维观测器可 以得到更好的系统性能。 为了介绍最小阶观测器的基本概念，又不涉及过于复杂的数学推导，我们将介绍输出为 纯量（即 m = 1）的情况，并推导最小阶观测器的状态方程。 考虑如下线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 式中，状态向量 x 可划分为 a x (纯量)和 b x (n-1 维向量)两部分。这里，状态变量 a x 等于输出 y，因而可直接量测，而 b x 是状态向量的不可量测部分。于是，经过划分的状态方程和输出 方程为 u B B x x A A A A x x b a b a ba bb aa ab b a           +                     =                   (4.71)           = b a x x y [1  0]  (4.72) 式中， 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 1 , , , , ,   − −  −  −  −        n a b n n b b n b a n Aa a R Aa b R A R A R B R B R 。 由式（4.71），状态可量测部分的状态方程为 x  a = Aaa xa +Aab xb + Bau