《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十章 定积分应用

若x(β)=a,x(α)=b,x(t)在[α,β)上单调减时S(A)-'lyldx =-I'ly(t)x(t)dt- 1'lv(0)x(0)ldt.因此，不论x(t)递增或递减S(A) = ° lv(0)x(0)]dt.若上述曲线C是封闭的，即x(α) = x(β), y(α) = y(β),后页返回前页

前页 后页 返回 若 x a x b x t ( ) , ( ) , ( ) [ , ]     = = 在 上单调减时， ( ) d ( ) ( )d b a S A y x y t x t t   = = −    S A y t x t t ( ) d . ( ) ( )   =   因此,不论 x(t)递增或递减, y t x t t ( ) ( )d .   =   若上述曲线C 是封闭的，即 x x y y ( ) ( ), ( ) ( ),     = =

则由C所围的平面图形A的面积同样是S(A) = J'lv(t) x(0)ldr.或 S(A)= 1,/x(0) y(0)ldr)前页后页返回

前页 后页 返回 则由C 所围的平面图形 A 的面积同样是 S A y t x t t ( ) d . ( ) ( )   =   ( ( ) ( ) ) S A x t y t t ( ) d .   或 =  

x =a(t -sint)t e[0, 2元] 与x 轴例3求由摆线y = a(1-cost)所围图形的面积y2aAa可x2元a解 S(A)=]," a(1 -cost)[a(t -sint)I'dt= a'f"(1-cost)'dt =3元a'.后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 0 a t t a (1 cos ) d 3 .  = − =   解 2 0 S A a t a t t t ( ) (1 cos )[ ( sin )] d  = − −   所围图形的面积. a 2a x y O 2 a A 例3 与 x 轴 ( sin ) , [0, 2 ] (1 cos ) x a t t t y a t   = −    = − 求由摆线

三、极坐标表示的平面图形的面积设曲线C的极坐标方程为r=r(O), [α,βl.图形 A由曲线C和两条射线=α与0=β围成=0.6=r=r()0. =β00.-1ee=0=αZ0;BaxV作分割T:α=0<0 <.….<0,=β,射线=0. (i=12,.,n把扇形A分割成n个小扇形前页后页返回

前页 后页 返回 三、极坐标表示的平面图形的面积 2, , n A n ) 把扇形 分割成 个小扇形 O x   A r r = ( ) • 由曲线 C 和两条射线    = 与 = 围成. O x   = i •   0 =   n =   = i−1   = i   = 1 i  设曲线C 的极坐标方程为 r r A =  ( ), [ , ].     图形 0 1 , 作分割T：     =    = n 射线 ( 1, i   = =i

A, A,..", A.m, =inf (r(0)]0e[0,,], i-1,2,,.设则M, = sup (r(0)/0 e[0,-1,0,]),1-2mAO,≤S(A,)≤MAO,从而0(4)MA0212-1i=1由于阿o(0)doT-02后页返回前页

前页 后页 返回 从而 2 2 1 1 1 1 1 Δ ( ) Δ . 2 2 n n n i i i i i i i i m S A M   = = =      由于 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 lim Δ lim Δ ( )d , 2 2 2 n n i i i i T T i i m M r       → → = =   = =  1 1 2 2 Δ ( ) Δ , 2 2 m S A M i i i i i 则     设 m r i i i =  inf ( ) | [ , ] ,      −1  M r i i i =  sup ( ) | [ , ] ,      −1  i n = 1,2, , . 1 2 , , , . A A A n