因此S(A)--1r(0)do.例4求心脏线r=a(1+cosの)所围平面图形的面积y解r=a(1+cos0)21aS(4)-["la(1+ cos0)do2a x= a"T" (1 + cos 0) do3Ta?2返回前页后页
前页 后页 返回 因此 例4 求心脏线 r a = + (1 cos ) . 所围平面图形的面积 解 2π 2 0 1 ( ) [ (1 cos )] d 2 S A a = + 3 2 π . 2 = a 1 2 ( ) ( )d . 2 S A r = π 2 2 0 = + a (1 cos ) d O x y a 2a r a = + (1 cos )
例5求双纽线r2=a2cos2θ所围平面图形的面积解因为r2≥0,所以θ的取值元范围是」V由图形的对称性a/2dX0S(A)=4(a"cos20de2J0=a'sin20=a?前页后页返回
前页 后页 返回 例5 2 2 求双纽线 r a = cos2 . 所围平面图形的面积 由图形的对称性, π 2 4 0 1 ( ) 4 cos 2 d 2 S A a = 解 2 因为r 0, 所以 的取值 π π 3π 5π [ , ] [ , ]. 4 4 4 4 范围是 − 与 π 2 2 4 0 = = a a sin2 . a/2 a O y x
例6 求由r=sinθ,r=cosθ 所围图形A的面积解 S(4)-sin'odo+cosede元O元-2cos20cos2011+新de.de+元一个2J22V元-2sin20-10-2)1-（A2元-4ox-(-)(-)-8-注也可利用对称性后页返回前页
前页 后页 返回 解 π π 4 2 2 2 π 0 4 1 1 ( ) sin d cos d 2 2 S A = + π π 4 2 π 0 4 1 1 cos 2 1 1 cos 2 d d . 2 2 2 2 − + = + π π 4 2 π 0 4 1 sin2 1 sin2 4 2 4 2 = − + + 例6 求由r r = = sin , cos 所围图形 A的面积. 1 π 1 1 π 1 π 1 . 4 4 2 4 4 2 8 4 = − + − = − 注 也可利用对称性. O x y A
S2由平行截面面积求体积Q为三维空间中一立体它夹在垂直于x轴的两平面x=a，x=b之间(a<b).Vxela,bl,作垂直于x轴的平面，截得Q的截面面积为A(x)A(x)bx前页后页返回
前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). x a b [ , ] , 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). a b x A x( ) 返回
若A(x)在[a,bl上连续,则Q 的体积为V= I'A(x)dr.证设T: a=x,<x,<…<x,=b是[a,b]的一分割,[xi-1,x;l上 A(x)的最大、最小值分别为 M,m, ,则第i个小薄片的体积△V满足m,Ax,≤AV, ≤ M,Ar,于是"Wm,Ax,sV-EAV,-Em,Ax,.i-1i=1i=1后页返回前页
前页 后页 返回 ( )d . b a V A x x = 证 0 1 : [ , ] 设T a x x x b a b = = n 是 的一分割, 1 [ , ] ( ) , , i i i i x x A x M m − 上 的最大、最小值分别为 若A(x) 在 [ , ] , a b 上连续 则 的体积为 Δ i 则第 i V 个小薄片的体积 满足 Δ Δ Δ , m x V M x i i i i i 于是 1 1 1 Δ Δ Δ . n n n i i i i i i i i m x V V M x = = = =