把 A 看作为 y型区域,则 gi;(y)=y,g2(y)= 8y,于是Sys(4)-I,(/8y-y) dy-V8.3二3388=V8.2//8333例2 求由 y2=x和x-y=2围成的图形A的面积解 y2=x 和x-y=2的交点为(1,-1)和(4,2).图形A如下图后页返回前页
前页 后页 返回 2 1 2 把 A y g y y g y y 看作为 型区域，则 ( ) , ( ) 8 , = = ( ) 3 3 2 2 2 0 2 2 ( ) 8 d 8 3 3 0 y S A y y y y = − = − 于是 . 3 8 3 8 8 3 2 = 8 − = 例2 2 求由 y x x y A = − = 和 2 . 围成的图形 的面积 解 2 y x x y = − = − 和 2 (1, 1) (4,2). 的交点为 和 图形 A 如下图
y2(4, 2)12=xx-y=2--A104x11(1,-1)若把A看作x型区域,则()-1-Vk,05xs1f(x)= ~x,0≤x≤4.x-2,1≤x≤4返回前页后页
前页 后页 返回 1 ,0 1 ( ) , 2 ,1 4 x x f x x x − = − ( ) ,0 4. f2 x = x x 若把 A x 看作 型区域, 则 2 4 y = x 2 (4, 2) x y O • x y − = 2 • (1, 1) − A
由于 f 分段定义,A 分为二图形 A, 和 A,S(4)-J,(Vx-(-V0)ar-gr0l-二S(A)-J(Vx-(x-2)dxt14 323/213+ 2x2231则3914S(A) = S(A) + S(A) =2332后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) 4 2 1 S A x x x ( ) ( 2) d = − − ( ) 1 1 3 2 1 0 0 4 4 ( ) ( ) d . 3 3 S A x x x x = − − = = 1 1 2 由于 f A A A 分段定义, , 分为二图形 和 1 2 4 14 3 9 ( ) ( ) ( ) . 3 3 2 2 S A S A S A = + = + − = 4 2 3 2 1 2 14 3 2 . 3 2 3 2 x x x = − + = − 则
若把A看作为型区域，则gi(y) = y (-1≤y≤2), g2(y)= y+2 (-1≤y≤2),S(A)=I" (y+2)- y"ldy(p+2y-号月）21号显然,由于gi(y),g2(v)不是分段定义的函数,比较容易计算后页返回前页
前页 后页 返回 . 2 9 1 2 3 1 2 2 1 2 3 = − = y + y − y 显然,由于 g1 (y), g2 (y) 不是分段定义的函数,比较 若把 A y 看作为 型区域，则 2 1 2 g y y y g y y y ( ) ( 1 2), ( ) 2 ( 1 2). = − = + − 2 2 1 S A y y y ( ) [( 2) ]d − = + − 容易计算
二、参数方程表示的平面图形的面积x = x(t)设曲线C由参数方程te[α,β] 表示(y= y(t)其中 y(t)连续,x(t)连续可微若x(α)=a,x(β)=b,x(t) 在[α,βI上单调增,则由曲线C及直线x=a.x=b和x轴所围图形的面积为S(A)- f'bvldx- J' lv(t)x(t)dt.后页返回前页
前页 后页 返回 二、参数方程表示的 平面图形的面积 设曲线C 由参数方程 ( ) , [ , ] ( ) x x t t y y t = = 表示, 其中 y t x t ( ) , ( ) . 连续 连续可微 若 在 上单调增,则 x a x b x t ( ) , ( ) , ( ) [ , ] = = 由曲线C x a x b x 及直线 = = , 和 轴所围图形的面 积为 ( ) d ( ) ( )d . b a S A y x y t x t t = =