例如z=0与z=1均为(z)=z(z-1)的零点。 又f(z)=(z-1)3+3z(z-1) f"(z)=6(z-1)+6z(z-1) f"(z)=12(z-1)+6(z-1)+6乙 f"(0)=(-1)≠0 z=0为一级零点 f∫"(1)=0∫"(1)=0f"(1)=6≠0 z=1为三级零点
例如 z = 0与z = 1均 为f (z) = z(z −1) 3 的零点。 f '''(z) = 12(z −1) + 6(z −1) + 6z 3 2 又f '(z) = (z −1) + 3z(z −1) f '(1) = 0 "( ) 6( 1) 6 ( 1) 2 f z = z − + z z − 0为一级零点 '(0) ( 1) 0 3 = = − z f z = 1为三级零点f ''(1) = 0 f '''(1) = 6 0
定理:若z是f(z)的m级极点兮z是一的m级零点 f(z 证明“→”若为f(x)的m级极点 冷∫(z) m8(z)(8(x)在解析且(xn)≠0 Z-Z 0 1 (z-x0)"h(z)(x≠z0) ∫(z) 0 8(z) (似(x)在乙解析,且M(n)≠0) =0,则z是的m级零点 z→Z ∫(xz) f∫(z)
定理: 若z0 是f (z)的m级极点 . ( ) 1 0 是 的m级零点 f z z 证明 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = “” 若z0为f (z)的m 级极点 ( ( ) , ( ) 0 ) g z 在z0 解析 且g z0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 0 0 z z h z z z g z z z f z m m = − = − ( ( ) , ( ) 0 ). h z 在z0 解析 且 h z0 令 0， ( ) 1 0, ( ) 1 lim 0 0 = = z→z f z f z . ( ) 1 则 0 是 的m级零点 f z z