一拉格朗日( Lagrange)插值 已知函数x)在n+1个点xx12…x处的函数值为 y12yn求一n次多项式函数Pn(x),使其满足: Pn(x)=y÷=0,1 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下: P (x)=∑L(x)y 其中L(x)为m次多项式 (x-x0)(x-x1)…(x-x21)(x-x+1)…(x-xn) (x1-x1)…(x1-x1=1)( 称为拉格朗日插值基函数
称为拉格朗日插值基函数。 0 ( ) ( ) n n i i i P x L x y = = 已知函数f(x)在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn处的函数值为 y0 ,y1 ,…,yn 。求一n次多项式函数Pn (x)，使其满足： Pn (xi )=yi ,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下: 其中Li (x) 为n次多项式： 0 1 1 1 0 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − − 拉格朗日(Lagrange)插值
一拉格朗日( Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式 L(x)=A + 三点二次(抛物)插值多项式 x-xn·(x-x1 L2(x) x-x1)·(x-x2 x-x0)(x-x2 yo x (x-x)(x1-x)(2-x)( x 直接验证可知Ln(x)满足插值条件
拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: ( ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 y x x x x y x x x x L x − − + − − = 三点二次(抛物)插值多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x − − − − − − = + + − − − − − − 直接验证可知,L (x)满足插值条件. n
分段线性插值 0 +1 Ln(x)=∑y1(x) j=0 计算量与n无关 x- n越大,误差越小 x-x l,(x)= j+1 imLn(x)=g(x)x0≤x≤xn n→)00 其它
分段线性插值 − − − − = = + + + − − − = 0, 其它 , , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 j j j j j j j j j j j n j n j j x x x x x x x x x x x x x x l x L x y l x 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n L x = g x x x x → 0 lim ( ) ( ), • • • • • • o x0 xj-1 xj xj+1 xn x y
三次样条插值 匕分段线性插值更光滑。 在数学上,光滑程度的定量描述是:函数(曲 线)的阶导数存在且连续,则称该曲线具有阶光 滑性。 光滑性的阶次越高,则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法?三次 样条插值就是一个很好的例子
比分段线性插值更光滑。 x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲 线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。 三次样条插值
三次样条插值 S(x)={s(x),x∈[x12x 1)S;(x)=c1x+bx2+C1+d1(i=1,…n) 2)S(x1)=v1(i=0,1,…n) 3)S(x)∈C[x,x] →s(x)=S(x),s(x)=s1(x)2s"x)=sm1(x)(i=1…,n-1) 4)S"(x0)=S"(xn)=0(然边界条件) 2)3)4) b S lim s(x)=g(x) n→0 g(x)为被插值函数
三次样条插值 ( ) { ( ), [ , ], 1, } S x = si x x xi−1 xi i = n 3) ( ) [ , ] 2) ( ) ( 0,1, ) 1) ( ) ( 1, ) 0 2 3 2 n i i i i i i i S x C x x S x y i n s x a x b x c x d i n = = = + + + = ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1, , 1) si xi = si+1 xi si xi = si +1 xi si xi = si +1 xi i = n − 4) S(x0 ) = S(xn ) = 0 (自然边界条件） 2) 3) 4) a ,b ,c ,d S(x) i i i i g(x)为被插值函数。 lim ( ) ( ) n S x g x → =