第六章:数值积分与数值微分 11 w(n,k)=1(r)dr Vk=0, 从而有 ∫八x)d=w叫mn)(x) 4.牛顿-柯特斯求积公式 牛顿-柯特斯求积公式就是利 用等距基点的拉格朗日插值多项式 导出的求积公式。 将积分区间[a,b划分为n等 分,记h=(b-a)/n,取 Xo=a, xk=a+kh. k=0,1,.n 我们可以得到 wv(m,k)=(b-a)·c(n,k),其中 c(nk= n·k(m-k)b1m-M 从而有 ∫∫(xlt=(b-a)∑(n,k),f(x,)
第六章：数值积分与数值微分 11 = = = = n k k b a b a k f x dx w n k f x w n k l x dx k n 0 0 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) , , , 从而有 4.牛顿-柯特斯求积公式 牛顿-柯特斯求积公式就是利 用等距基点的拉格朗日插值多项式 导出的求积公式。 将积分区间[a,b]划分为 n 等 分，记 h=(b-a)/n，取 x0=a,xk=a+kh.k=0,1,…,n 我们可以得到 = = = = − = − − − − = = − b a k n k k n j n j k j n k f x dx b a c n k f x t j dt n k n k c n k w n k b a c n k 0 0 0 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) !( )! ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ), 从而有 其中
第六章:数值积分与数值微分 在牛顿-柯特斯公式中,我们称 c(n,k)为牛顿-柯特斯系数,一般可 通过查表得到。崔国华教材p60列 出了直到n=8的所有牛顿-柯特斯 系数,应该说,实用意义不大。崔 国华教材p59-60给出了牛顿-柯 特斯系数公式c(n,k)的详细推导。 当n>8时牛顿-柯特斯公式并 没有实际意义。实际上,我们通常 只用到n=1,2,4的情形,相应的公 式分别称为梯形公式辛卜生公式, 和柯特斯公式。对于现代的计算工
第六章：数值积分与数值微分 12 在牛顿-柯特斯公式中，我们称 c(n,k)为牛顿-柯特斯系数，一般可 通过查表得到。崔国华教材 p60 列 出了直到 n=8 的所有牛顿-柯特斯 系数，应该说，实用意义不大。崔 国华教材 p59-60 给出了牛顿-柯 特斯系数公式 c(n,k)的详细推导。 当 n>8 时牛顿-柯特斯公式并 没有实际意义。实际上，我们通常 只用到 n=1,2,4 的情形，相应的公 式分别称为梯形公式，辛卜生公式， 和柯特斯公式。对于现代的计算工
第六章:数值积分与数值微分 具来说,有梯形公式和辛卜生公式 也就够用了 利用牛顿-柯特斯系数,我们可 以方便地写岀牛顿-柯特斯求积公 式 f(x)dx=(b-a)·Zc(n,k)·f(x) 4梯形公式 在牛顿-柯特斯求积公式中,如 果我们取n=1那么k可以取0和 1。由此所形成的求积公式就是梯 形公式
第六章：数值积分与数值微分 13 具来说，有梯形公式和辛卜生公式 也就够用了。 利用牛顿-柯特斯系数，我们可 以方便地写出牛顿-柯特斯求积公 式： = = = − k n k k b a f x dx b a c n k f x 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) 4.梯形公式 在牛顿-柯特斯求积公式中，如 果我们取 n=1,那么 k 可以取 0 和 1。由此所形成的求积公式就是梯 形公式
第六章:数值积分与数值微分 利用c(n,k)= (t-j)dt 取=1分别取k=0和k=1得 (,0) 1·0!·(1-0) (t-1)d=-J(t-1lt c)=D)(-0)-h= 从而有∫f(x)t=(b-af(a)+f(b 由于得到的结果是梯形面积公式 所以称梯形公式 5辛卜生公式 在牛顿-柯特斯求积公式中,如 果我们取n=1,那么k可以取0,1, 2,由此所形成的求积公式就是辛 卜生公式
第六章：数值积分与数值微分 14 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) !( )! ( ) ( , ) ( ) ( ) !( )! ( ) ( , ) ( ) !( )! ( ) ( , ) f x dx b a f a f b c t dt tdt c t dt t dt k k t j dt n k n k c n k b n j n j k j n k 2 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 = − + − = = − − = − = − − = − − = = = = − − − = − − = = − 从而有 取 ，分别取 和 得 利 用 由于得到的结果是梯形面积公式， 所以称梯形公式。 5.辛卜生公式 在牛顿-柯特斯求积公式中，如 果我们取 n=1,那么 k 可以取 0，1， 2，由此所形成的求积公式就是辛 卜生公式
第六章:数值积分与数值微分 15 利用c(n.=fi(a-n 取=1,分别取=0,k=1,k=2得 (2,0) (t-1)(t-2)dh 6 c(2,1)=(-1)2 (-0)(t-2)t 4 2·1(2-1) (-1)22 c(2,2) (t-0)(t-1) 从而有 a+b. 1 ∫(x)dx=(b-af(a)+-∫()+f(b) 6柯特斯公式 作为课外作业,大家可以取 n=4相应地k可以取0,1,2,3 和4,仿照上面的方式,可以得到 4,0 4D=16.(4,=2 c(4,4=7 16
第六章：数值积分与数值微分 15 ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] ( )( ) !( )! ( ) ( , ) ( )( ) !( )! ( ) ( , ) ( )( ) !( )! ( ) ( , ) , , ( ) !( )! ( ) ( , ) f b a b f x dx b a f a f c t t dt c t t dt c t t dt k k k t j dt n k n k c n k b n j n j k j n k 2 1 6 2 4 6 1 6 1 0 1 2 2 2 2 1 2 2 6 4 0 2 2 1 2 1 1 2 1 6 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0 1 0 1 2 1 1 0 2 2 1 0 2 1 2 0 2 0 0 0 + + = − + − − = − − = − − = − − = − − = − − = = = = = − − − = − − − = = − 从而有 取 ，分别取 得 利 用 6.柯特斯公式 作为课外作业，大家可以取 n=4,相应地 k 可以取 0，1 ，2，3 和 4，仿照上面的方式，可以得到： 90 16 4 3 45 7 4 4 15 2 4 2 45 16 4 1 90 7 4 0 = = = = = ） ） ） ） ） ( , , ( , ( , , ( , , ( , c c c c c