第六章:数值积分与数值微分 如果对所有的次数不超过m的多 项式严格相等,而对某些m+1次 多项式不相等,则称该公式具有代 数精度m,或该公式的代数精度为 利用求积公式的线性性,我们 不难证明下面的结论。 定理:如果求积公式对1,x,,Xm 格相等,而对Ⅻm+1不相等,则该 公式的代数精度为m。 作为课外练习,鼓励大家给出 完整证明
第六章：数值积分与数值微分 6 如果对所有的次数不超过 m 的多 项式严格相等，而对某些 m+1 次 多项式不相等，则称该公式具有代 数精度 m，或该公式的代数精度为 m。 利用求积公式的线性性，我们 不难证明下面的结论。 定理：如果求积公式对 1，x,…,xm 严格相等，而对 xm+1 不相等，则该 公式的代数精度为 m。 作为课外练习，鼓励大家给出 完整证明
第六章:数值积分与数值微分 6基本结论 我们不难利用上面的定理所给 出的方法证明辛卜生公式的代数精 度是3,而中点公式和梯形公式的 代数精度是1。 现在我们可以对这三个公式作 个简单的评价 中点公式和梯形公式的代数精 度虽然都是1,但中点公式只计算 一个点的函数值,而梯形公式要计 算两个点处的函数值,所以中点公 式优于梯形公式
第六章：数值积分与数值微分 7 6.基本结论 我们不难利用上面的定理所给 出的方法证明辛卜生公式的代数精 度是 3，而中点公式和梯形公式的 代数精度是 1。 现在我们可以对这三个公式作 一个简单的评价： 中点公式和梯形公式的代数精 度虽然都是 1，但中点公式只计算 一个点的函数值，而梯形公式要计 算两个点处的函数值，所以中点公 式优于梯形公式
第六章:数值积分与数值微分 与梯形公式相比,辛卜生公式 只多计算一个点的函数值,但代数 精度却增加到3,显然辛卜生公式 更为优越。 6.2牛顿柯特斯求积公式 1.利用插值多项式近似替代被积函 数 设f(x)为被积函数,[a,b为积 分区间,X0X1…,Xn为[a,b]内的 n+1个互异的点记Ln(x)为相应的 拉格朗日插值多项式,那么我们有
第六章：数值积分与数值微分 8 与梯形公式相比，辛卜生公式 只多计算一个点的函数值，但代数 精度却增加到 3，显然辛卜生公式 更为优越。 6．2 牛顿-柯特斯求积公式 1. 利用插值多项式近似替代被积函 数 设 f(x)为被积函数，[a,b]为积 分区间 ，x0,x1,…,xn 为[a,b]内的 n+1 个互异的点，记 Ln(x)为相应的 拉格朗日插值多项式，那么我们有
第六章:数值积分与数值微分 f(x=L(x)+r,(x) 两边同时积分得:∫f(xt=∫L(x)x+JR(x)d 如果我们取 f(x)dx=L(x)dx 那么截段误差为:JR(x)tx 2.利用插值多项式导出求积公式 利用∫f(xlL(x)t 以及Ln(x)=∑(x)·∫(x 可得∫∫(x)-∑(x,f(x,)x)d 亦即∫f(x) l4(x)dtcl·∫(x) 记2=∫lL(x)drk=0, 则有∫∫(x)d=∑f(x) 在上面给出的公式中,由于诸 k(x)都是多项式函数,所以诸Wk 都可以精确地计算出来。从而我们 可以得到一般性的求积公式
第六章：数值积分与数值微分 9 R x dx f x dx L x dx f x dx L x dx R x dx f x L x R x b a n b a n b a b a n b a n b a n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + 那么截段误差为： 如果我们取 两边同时积分得： 2.利用插值多项式导出求积公式 = = = = = = = = = = = = = = = k n k k k b a b a k k k n k k b a k b a b a k n k k k b a k n k n k k b a n b a f x dx w f x w l x dx k n f x dx l x dx f x f x dx l x f x x dx L x l x f x f x dx L x dx 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) , ,..., ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( )]( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 则 有 记 亦 即 可 得 以 及 利 用 在上面给出的公式中，由于诸 lk(x)都是多项式函数，所以诸 wk 都可以精确地计算出来。从而我们 可以得到一般性的求积公式
第六章:数值积分与数值微分 3讨论: 回顾上一章关于多项式插值的 结论,由于任意次数不超过n的多 项式与它的任意n+1个基点的插 值多项式恒等,再由求积公式的代 数精度的定义,我们立即得到:由 n个基点的拉格朗日插值多项式所 形成的求积公式的代数精度至少式 为了同时说明求即公式得代数 精度,我们记
第六章：数值积分与数值微分 10 3.讨论： 回顾上一章关于多项式插值的 结论，由于任意次数不超过 n 的多 项式与它的任意 n+1 个基点的插 值多项式恒等，再由求积公式的代 数精度的定义，我们立即得到：由 n 个基点的拉格朗日插值多项式所 形成的求积公式的代数精度至少式 n。 为了同时说明求即公式得代数 精度，我们记