了例2:设是独立分布随机序列,其概率密度为 4x 2 e x> p(x a) 2 0.x<0 式中a>0为待估参数,求a的极大似然估计 了解设xN=[x(1)x(2)…x(N)表示随机序列{x(k)} 的N个观测值向量,根据题意可得随机变量x在参 数a条件下的似然函数 4 N L(x|a)=m(x()a)= 3n ∏x(),e-2x k=1 丌 k=1
例2：设 是独立分布随机序列，其概率密度为 式中 为待估参数，求 的极大似然估计 解 设 表示随机序列 的N个观测值向量，根据题意可得随机变量 在参 数 条件下的似然函数 − = 0, 0 exp , 0 4 ( | ) 2 2 3 2 x x a x a x p x a a 0 a T xN = [x(1) x(2) x(N)] {x(k)} x a = = − = − = = N k N k N N N k N x k a L x a p x k a a x k 1 1 2 2 3 2 1 ( ) 1 ( ) exp 4 ( | ) ( ( ) | )
对上式等号两边取对数,有 hn L(xx (a)=NIn-3NIna+hn[x2(k)-22x(k) k=1 求上式对a的偏导数并令其为0,可得 aIn L(xn a) 3N 2 aa +∑x2(k)=0 k=1 了因而可得a的极大似然估计 2 aml= ∑x2( 3N k1 了考虑到x是独立同分布随机变量,则有 2 2 DaMni 13N ∑E{x2(k)} V3N A ∑Ex2}=12E{x2
对上式等号两边取对数，有 求上式对 的偏导数并令其为0，可得 因而可得 的极大似然估计 考虑到 是独立同分布随机变量，则有 = = = − + − N k N k N x k a L x a N N a x k 1 2 2 1 2 ( ) 1 3 ln ln ( ) 4 ln ( | ) ln x a a ( ) 0 ln ( | ) 3 2 1 2 3 = − + = = N k N x k a a N a L x a = = N k ML x k N a 1 2 ^ ( ) 3 2 { } 3 2 { } 3 2 { ( )} 3 2 { } 2 1 2 1 2 ^ E x E x N E x k N E a N k N k ML = = = = =