第5章最小二乘法辨识
第5章 最小二乘法辨识
把待辨识的系统看作“黑箱”,只考虑系统 的输入一输出特性,而不强调系统的内部机 理 本章主要讨论单输入一单输出系统的差分方 程作为模型的系统辨识问题 差分方程模型的辨识问题包括阶的确定和参 数估计2个方面。 本章讨论采用最小二乘法进行参数估计
❖ 把待辨识的系统看作“黑箱”，只考虑系统 的输入－输出特性，而不强调系统的内部机 理。 ❖ 本章主要讨论单输入－单输出系统的差分方 程作为模型的系统辨识问题。 ❖ 差分方程模型的辨识问题包括阶的确定和参 数估计2个方面。 ❖ 本章讨论采用最小二乘法进行参数估计
1、最小二乘法 设单输入一单输出线性定常系统的差分方程为 x(k)+a1x(k-1)+…+anx(k-n)=b(k)+…+b,(k-m) ◆式中:以k)为输入信号;xk)为理论上的输出值 今()的观测值y)可表示为 yk =x(k)+n(k 式中以k)为随机干扰,则:x(k)=y)-mk 今将琳)代入差分方程中,有 y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=b()+…+b2(k-n) (4) +n()+2a(k-
1、最小二乘法 ❖ 设单输入－单输出线性定常系统的差分方程为 （1） ❖ 式中： 为输入信号； 为理论上的输出值。 ❖ 的观测值 可表示为 ❖ 式中 为随机干扰，则： ❖ 将 代入差分方程中，有 （4） 1, 2, 3, ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 0 = + − + + − = + + − k x k a x k a x k n b u k b u k n n n x(k) u(k) x(k) n(k) y(k) y(k) = x(k) + n(k) x(k) = y(k) − n(k) x(k) = + + − + − + + − = + + − n i i n n n k a n k i y k a y k a y k n b u k b u k n 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
令往往把m(k)看作白噪声 设 5(=m)+∑an 则式(4)可写成 y(k)+a,yk-1)++anyk-n)=bou(k)+. +b,u(k-n)+(k)(5) 假设5(k)不仅包含了xk)的测量误差,而且还包含v) 的测量误差和系统内部噪声。 假定(k)是不相关随机序列。 令现分别测出n+N个输出输入值y,y(2),,yn+N), l(1),l(2)…,l(n+N
❖ 往往把 看作白噪声 ❖ 设 ❖ 则式（4）可写成 （5） ❖ 假设 不仅包含了 的测量误差，而且还包含 的测量误差和系统内部噪声。 ❖ 假定 是不相关随机序列。 ❖ 现分别测出 个输出输入值 ， = = + − n i i k n k a n k i 1 ( ) ( ) ( ) x(k) n(k) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 y k a y k a y k n b u k b u k n k n n + − ++ − = ++ − + (k) u(k) (k) n + N y(1), y(2), , y(n + N) u(1),u(2), ,u(n + N)
设 Vn+ (n+1) y(n+2) n+ y= 0=|,"b n+N 5(m+N) n y(2)a(n+2)…al(2) ①= y(n+N-1)…-y(N)l(n+N)…(N)
❖ 设 + + + = = + + + = ( ) ( 2) ( 1) , , ( ) ( 2) ( 1) 0 1 n N n n b b a a y n N y n y n y n n − + − − + − + − + − − + = ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) (2) ( 2) (2) ( ) (1) ( 1) (1) y n N y N u n N u N y n y u n u y n y u n u