D(=) 1.5z2-0.25z+04=0 判别系统稳定性。 解进行双线性变换 w+1 02+1 +0.4=0 整理得 D()=0.353-0.552-595-1.85=0 因为W域的特征方程的系数的符号不全相同,所以系统不稳定。下面用劳思 判据,可以进一步确定有几个不稳定的特征根 劳思表构成如下: -1.85 7.13 -1.85 由于劳思表的第一列数符号变化1次,所以,系统不稳定,D(w)=0有1个根 在W平面的右半部,即D(z)=0有1个根在Z平面的单位圆外 必须指出,双线性变换虽然可以将连续系统中的各种方法,推广到离散系 统的分析、设计中,但由于W平面与S平面具有本质的差别,例如物理意义 不明显,因此,这种方法具有很多局限性,不如直接在Z平面上分析、设计离 散系统 4.3李雅普诺夫稳定判据 李雅普诺夫( Lyapunov)稳定判据是1892年提出的,它给出了连续非线性系 统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件。1958 年被推广到离散系统。 李雅普诺夫稳定判据通常称为第二法,是分析系统稳定性的普遍方法。这 种方法不需要求出状态方程的解,因此,当非线性系统的精确解不能求得时, 用李雅普诺夫稳定判据分析非线性系统稳定性的优点就更显得突出。 很多力学系统是一个能耗系统,其总能量随着时间的变化不断减少,最后 回到它的最小储能位置。因此,能量的度量可以作为力学系统稳定性的度量 但是,一般系统没有象力学问题那样有明显的动能和位能的概念。李雅普诺夫 基于以上现象,抽象了“能量”的概念,构造了一个类似于“能量”的正定函 数,这个函数一般称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能量”的正定函 数是否随着时间的增长而减少,即分析李雅普诺夫函数的导数是否一个负定的 函数可以判别系统的稳定性 43.1预备知识 标量函数的正定性 标量函数(x)的正定性定义如下 )当x=0时,V(x)=0:当x≠0时,(x)>0,则称V(x)是正定的:
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 ( ) 1.5 0.25 0.4 0 3 2 D z = z − z − z + = 判别系统稳定性。 解 进行双线性变换 0.4 0 1 1 0.25 1 1 1.5 1 1 3 2 ⎟ + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + w w w w w w 整理得 ( ) 0.35 0.55 5.95 1.85 0 3 2 D w = w − w − w − = 因为 W 域的特征方程的系数的符号不全相同，所以系统不稳定。下面用劳思 判据，可以进一步确定有几个不稳定的特征根。 劳思表构成如下： 3 w 0.35 -5.95 2 w -0.55 -1.85 1 w -7.13 0 0 w -1.85 由于劳思表的第一列数符号变化 1 次，所以，系统不稳定，D(w)=0 有 1 个根 在 W 平面的右半部，即 D(z)=0 有 1 个根在 Z 平面的单位圆外。 必须指出，双线性变换虽然可以将连续系统中的各种方法，推广到离散系 统的分析、设计中，但由于 W 平面与 S 平面具有本质的差别，例如物理意义 不明显，因此，这种方法具有很多局限性，不如直接在 Z 平面上分析、设计离 散系统。 4.3 李雅普诺夫稳定判据 李雅普诺夫(Lyapunov)稳定判据是 1892 年提出的，它给出了连续非线性系 统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件。1958 年被推广到离散系统。 李雅普诺夫稳定判据通常称为第二法，是分析系统稳定性的普遍方法。这 种方法不需要求出状态方程的解，因此，当非线性系统的精确解不能求得时， 用李雅普诺夫稳定判据分析非线性系统稳定性的优点就更显得突出。 很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断减少，最后 回到它的最小储能位置。因此，能量的度量可以作为力学系统稳定性的度量。 但是，一般系统没有象力学问题那样有明显的动能和位能的概念。李雅普诺夫 基于以上现象，抽象了“能量”的概念，构造了一个类似于“能量”的正定函 数，这个函数一般称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能量”的正定函 数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺夫函数的导数是否一个负定的 函数可以判别系统的稳定性。 4.3.1 预备知识 1 标量函数的正定性 标量函数V (x) 的正定性定义如下： 1） 当 x = 0 时，V (x) = 0 ；当 x ≠ 0时，V (x) > 0 ，则称V (x) 是正定的； 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 16
自动控制原理电子教 2)若V(x)除原点和某些状态下为零,而其余部分都大于零,则称V(x)为半正 定的 3)若-(x)是正定的,则称(x)是负定的 4)若-(x)是半正定的,则称(x)是是半负定的 5)若V(x)既可以是正值,也可以是负值,则称(x)是不定的。 根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性 )(x)=x2+2x2是正定的 2)(x)=(x1+x2)2是半正定的,因为当x1=-x2时,(x)=0 3)(x)=-(x2+2x2)是负定的 4)(x)=-(x1+x2)2是半负定的 5)(x)=x1x2+x2是不定的,因为当x1>0,x2>0时,V(x)>0,而当 >x2|>0,x2<0时,(x)<0 2.二次型标量函数及其正定性条件 若 PI P Pinx1 v(x) 则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实对称矩阵,即P=P 若P表示为实对称矩阵,二次型标量函数的正定性可以用塞尔维斯特 ( Sylvester)准则判别。该准则叙述如下 塞尔维斯特准则:记P的主子行列式为 P △1=P1,△ PI P B:P (433) 二次型标量函数V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正,即 △1>0,△,>0 二次型标量函数(x)为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子式满足: ∫>0为偶数 0i为奇数 4.32李雅普诺夫稳定判据 若非线性连续系统的状态方程为 x=f(x,1) (4.36) 不失一般性,设系统的平衡状态为x=0。如果x2≠0,可以通过X=x-x2变 换为零 连续系统的李雅普诺夫稳定判据:若存在一个标量函数(x),对所有的 (1)有连续的一阶偏导数,且(x)是正定的,则 当比(x)=“(x)为负定时,平衡状态是渐近稳定的 浙江工业大学自动化研究所。17
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 2）若 除原点和某些状态下为零，而其余部分都大于零，则称 为半正 定的； V (x) V (x) 3）若 −V (x) 是正定的，则称V (x) 是负定的； 4）若 −V (x) 是半正定的，则称V (x) 是是半负定的； 5）若V (x) 既可以是正值，也可以是负值，则称V (x) 是不定的。 根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性 1）V (x) = x1 2 + 2x2 2 是正定的； 2）V (x) = (x1 + x2 ) 2 是半正定的，因为当 1 2 x = −x 时，V (x) =0； 3）V(x) =－( x1 2 + 2x2 2 )是负定的； 4）V (x) = − (x1 + x2 ) 2 是半负定的； 5）V (x) = x1x2 + x2 2 是不定的，因为当 x1 > 0 ， x2 > 0 时，V (x) > 0 ，而当 0 x1 > x2 > ， x2 < 0 时，V (x) < 0。 2．二次型标量函数及其正定性条件 若 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = n n nn n n n n T x x x P P P P P P P P P V x x Px x x x M L M M O M L L L 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( ) (4.32) 则称为二次型标量函数。其中 P 一般表示为实对称矩阵，即 Pij = Pji 。 若 P 表示为实对称矩阵，二次型标量函数的正定性可以用塞尔维斯特 (Sylvester)准则判别。该准则叙述如下： 塞尔维斯特准则：记 P 的主子行列式为 ∆1 = P11 ， 21 22 11 12 2 P P P P ∆ = ， … ， n n nn n n n P P P P P P P P P L M M O M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ∆ = (4.33) 二次型标量函数V(x) 为正定的充要条件是矩阵 P 的所有主子行列式为正，即 ∆1 > 0 ， ∆2 > 0， … ， ∆n > 0 (4.34) 二次型标量函数V (x) 为负定的充要条件是矩阵 P 的各阶主子式满足： = (4.35) ∆i ⎩ ⎨ ⎧ < > 为奇数 为偶数 i i 0 0 4.3.2 李雅普诺夫稳定判据 若非线性连续系统的状态方程为 x& = f (x,t) (4.36) 不失一般性，设系统的平衡状态为 xe = 0。如果 xe ≠ 0，可以通过 e X = x − x 变 换为零。 连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数 ，对所有的 有连续的一阶偏导数，且 是正定的，则 V (x) x(t) V (x) 当V(x) & dt dV (x) = 为负定时，平衡状态是渐近稳定的； 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 17
当(x)为负定,且|→,"(x)→时,平衡状态是大范围渐近稳定的; 当(x)为半负定时,平衡状态是李氏意义下稳定的; 当(x)是半负定的,v(x)不恒等于0时,平衡状态是大范围渐近稳定的; 当V(x)为正定时,则平衡状态是不稳定的 标量函数(x)称为李雅普诺夫函数。 离散系统的李雅普诺夫稳定判据:对于非线性离散系统 x(k+1)=f(x(k),f(0)=0 (4.37) 若存在一个连续的标量函数(x),V(O)=0,对任意x(k)≠0,V(x)是正定的 则当对任意x≠0,沿轨线有 △(x(k)=(x(k+1)-V(x(k) 为负定时,它的平衡状态x=0是渐近稳定的,进一步当叫→∞,(x)→时 平衡状态则是大范围渐近稳定的:当△F(x)是正定时,平衡状态是不稳定的 标量函数(x)称为系统的李雅普诺夫函数。 例413非线性系统的状态方程为 分析其平衡状态的稳定性。 解:确定平衡点 xel+xe(xe+xe) xa1[(x2+x2)2]=0 因为1+(x2+x2)2≠0,所以,x1=0,x2=0,即系统的平衡点为x=[xa 取李雅普诺夫函数为 则 将状态方程代入上式得 x2+x2)+ 可见,(x)是负定的,因此,系统在坐标原点处的平衡状态是渐进稳定的。又 因为叫→∞时,(x)→∞,所以是大范围渐进稳定的。 例414线性系统的状态方程为
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 当V&(x) 为负定，且 x → ∞,V (x) → ∞ 时，平衡状态是大范围渐近稳定的； 当V&(x) 为半负定时，平衡状态是李氏意义下稳定的； 当V&(x) 是半负定的，V&(x) 不恒等于 0 时，平衡状态是大范围渐近稳定的； 当V x &( ) 为正定时，则平衡状态是不稳定的。 标量函数V (x) 称为李雅普诺夫函数。 离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线性离散系统 x(k +1) = f (x(k)) ，f (0) = 0 (4.37) 若存在一个连续的标量函数V (x) ,V (0) = 0 ，对任意 x(k) ≠ 0， 是正定的， 则当对任意 ，沿轨线有 V (x) x ≠ 0 ∆V (x(k)) = V (x(k +1)) −V (x(k)) (4.38) 为负定时，它的平衡状态 xe = 0是渐近稳定的，进一步当 x → ∞ ， 时， 平衡状态则是大范围渐近稳定的；当 V (x) → ∞ ∆V (x) 是正定时，平衡状态是不稳定的。 标量函数V (x) 称为系统的李雅普诺夫函数。 例 4.13 非线性系统的状态方程为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x & & 分析其平衡状态的稳定性。 解：确定平衡点 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = = − + = ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x & & ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = + ( ) 0 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 e e e e e e e e x x x x x x x x ( ) 0 2 2 2 2 xe1 + xe1 xe1 + xe = [1 ( ) ] 0 2 2 2 2 xe1 + xe1 + xe = 因为1+ (xe 2 1 + xe 2 2 ) 2 ≠ 0 ，所以， xe1 = 0， xe2 = 0 ，即系统的平衡点为 。 1 [ e e x = x 2 ] = [0 T e x T 0] 取李雅普诺夫函数为 2 2 2 1 V (x) = x + x 则 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) x x x x dt dx x V dt dx x V dt dV x V x & & & = = ⋅ + ⋅ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 将状态方程代入上式得 ( ) 2 [ ( )] 2 [ ( )] 2( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 V x = x x − x x + x + x −x − x x + x = − x + x & 可见， 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平衡状态是渐进稳定的。又 因为 V(x) & x → ∞ 时，V (x) → ∞ ，所以是大范围渐进稳定的。 例 4.14 线性系统的状态方程为 ⎩ ⎨ ⎧ = − − = 2 1 2 1 2 x x x x x & & 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 18