自动控制原理电子教 K K 由劳思稳定判据,系统稳定的充分必要条件为 2COn -KO>0 解上面的不等式,保证系统稳定的参数K1的取值范围为0<K1<2con。当 K1=2ωn时,系统临界稳定。 2.赫尔维茨稳定判据 设系统的特征方程为 D(s)=ans"+a-s+.+a,s+o =0 a.>0 (4.25) 不失一般性,设an>0。因为当an<0时,只要用-1乘以式(425)的两边 即可满足假设条件。构造赫尔维兹( Hurwitz)行列式如下 n-l a 000 nT-4 a 00000 (4.26) an-8 an-7 an-6 an-5 000 注意到,n阶系统的赫尔维兹行列式△n的主对角线上的元素依次为 n1,an=2,…,a1,ao,每列元素是以主对角线元素为基准,往下按注脚递减的顺 序排列,往上按注脚递增的顺序排列,凡是注脚大于n或小于零的系数均为零。 而低阶赫尔维兹行列式是△n的各阶顺序主子式 赫尔维兹稳定判据:系统稳定的充分必要条件是△1>0,(=1,2,…,n)。 3.李纳德-戚帕特稳定判据 李纳德戚帕特( Lienard Chipart)证明,在特征多项式系数为正的条件下 若所有奇数阶赫尔维兹行列式均为正,即△1>0,i=35,…,则所有偶数阶赫 尔维兹行列式也为正,即Δ1>0,1=24,…,反之亦然。所以,有下列李纳 德-戚帕特稳定判据 李纳德戚帕特稳定判据:设特征多项式系数全为正,则系统稳定的充分 必要条件是 Δ,>0,i=2,4,…,n-1(若n为奇数 (4.27a)
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 3 s 1 2 ω n 2 s n 2ςω 2 K1ω n 1 s ς ςω ω 2 2 1 2 n − K n 0 s 2 K1ω n 由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为 2 1 0 2 ςω n − K ω n > 0 2 K1ω n > 解上面的不等式，保证系统稳定的参数 K1 的取值范围为 K n 0 < 1 < 2ςω 。当 K n 1 = 2ςω 时，系统临界稳定。 2. 赫尔维茨稳定判据 设系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D s a s a − s a s a n n n n L > 0 (4.25) an 不失一般性，设 an > 0 。因为当 an < 0 时，只要用-1 乘以式（4.25）的两边， 即可满足假设条件。构造赫尔维兹（Hurwitz）行列式如下 L 5 4 3 3 2 1 1 3 3 2 1 2 1 1 0 − − − − − − − − − − − ∆ = ∆ = ∆ = n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a × − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∆ = 0 9 8 7 6 5 7 6 5 4 3 5 4 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L M M M M M L M L L L L L (4.26) 注意到， n 阶系统的赫尔维兹行列式 ∆n 的主对角线上的元素依次为 ，每列元素是以主对角线元素为基准，往下按注脚递减的顺 序排列，往上按注脚递增的顺序排列，凡是注脚大于 或小于零的系数均为零。 而低阶赫尔维兹行列式是 的各阶顺序主子式。 1 2 1 0 an− , an− ,L, a , a n ∆n 赫尔维兹稳定判据：系统稳定的充分必要条件是 ∆i > 0 ，(i = 1,2,L, n)。 3. 李纳德-戚帕特稳定判据 李纳德-戚帕特（Lienard Chipart）证明，在特征多项式系数为正的条件下， 若所有奇数阶赫尔维兹行列式均为正，即 ∆i > 0 ，i = 3,5,L，则所有偶数阶赫 尔维兹行列式也为正，即 ∆i > 0 ，i = 2,4,L，反之亦然。所以，有下列李纳 德-戚帕特稳定判据。 李纳德-戚帕特稳定判据：设特征多项式系数全为正，则系统稳定的充分 必要条件是 ∆ > 0 ， （若 为奇数） (4.27a) i i = 2,4,L, n −1 n 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 11
控制原理电子教 Δ;>0,i=3,5,…,n-1(若n为偶数) (427b) 例47推导二阶系统稳定的条件 解设二阶系统的特征方程为D(s)=a2s2+a1s+ao=0,由李纳德-戚帕特 稳定判据,系统稳定的充要条件是 0,a1>0,a0>0,△1=a1>0 解得a2>0,a1>0,a0>0。所以,二阶系统稳定的条件是特征多项式的系 数全为正,或者全为负。 例48推导三阶系统稳定的条件。 解设三阶系统的特征方程为 D(s)=a3S 由李纳德-戚帕特稳定判据,系统稳定的充要条件是 0,a2>0,a1>0,a0>0 ao a1a2a1-a3a0>0 解得 a3>0,a2>0,a1>0,a>0,a2a1>a3ao 所以,三阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为正,并且a2a1>a3a0 用赫尔维兹稳定判据也得到同样的结果 4.劳思判据与赫尔维兹判据的关系 劳思判据与赫尔维兹判据虽然是独立提出的,但本质上是一样的。劳思表 的第一列元素C,和赫尔维兹行列式△1的关系是 C 因此,在an>0的情况下,如果所有的赫尔维兹行列式为正值,那么,劳思表 的第一列元素必大于零,反之亦然 422线性离散系统的代数稳定判据 判别离散系统稳定性的代数方法有:朱利(Jury)判据和舒尔一科恩 ( Schur-Cohn)判据。这些方法和连续系统中的劳斯、赫尔维兹判据很相似。 设系统的特征方程为 D(=)=an2"+an-12 (4.28 1.朱里稳定判据 不失一般性,设系统特征方程(428)中a,>0。列表: a. aa bo b, b2
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 ∆ > 0 ， （若 为偶数） (4.27b) i i = 3,5,L, n −1 n 例 4.7 推导二阶系统稳定的条件。 解 设二阶系统的特征方程为 ，由李纳德-戚帕特 稳定判据，系统稳定的充要条件是 ( ) 1 0 0 2 D s = a2 s + a s + a = a2 > 0 ， a1 > 0 ， a0 > 0 ， ∆1 = a1 > 0 解得 ， ， 。所以，二阶系统稳定的条件是特征多项式的系 数全为正，或者全为负。 a2 > 0 a1 > 0 a0 > 0 例 4.8 推导三阶系统稳定的条件。 解 设三阶系统的特征方程为 ( ) 0 1 0 2 2 3 D s = a3 s + a s + a s + a = 由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是 a3 > 0， a2 > 0 ， a1 > 0 ， a0 > 0 ， 2 1 3 0 0 0 1 2 3 ∆2 = = a a − a a > a a a a 解得 a3 > 0， a2 > 0 ， a1 > 0 ， a0 > 0 ， a2 a1 > a3a0 所以，三阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为正，并且 a2 a1 > a3a0 。 用赫尔维兹稳定判据也得到同样的结果。 4. 劳思判据与赫尔维兹判据的关系 劳思判据与赫尔维兹判据虽然是独立提出的，但本质上是一样的。劳思表 的第一列元素C1, j 和赫尔维兹行列式 ∆i 的关系是： 1,2 1 1 1,1 = = ∆ = n− n C a C a 2 1 1, − − ∆ ∆ = j j C j ( j = 3,4,L, n +1) 因此，在 的情况下，如果所有的赫尔维兹行列式为正值，那么，劳思表 的第一列元素必大于零，反之亦然。 an > 0 4.2.2 线性离散系统的代数稳定判据 判别离散系统稳定性的代数方法有：朱利（Jury）判据和舒尔—科恩 (Schur-Cohn)判据。这些方法和连续系统中的劳斯、赫尔维兹判据很相似。 设系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D z a z a − z a z a n n n n L (4.28) 1. 朱里稳定判据 不失一般性，设系统特征方程（4.28）中 an > 0。列表： 1 a0 1 a 2 a … an− j … an−2 an−1 an 2 an an−1 an−2 … a j … 2 a 1 a a0 3 b0 1 b 2 b … bn− j … bn−2 bn−1 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 12
自动控制原理电子教 b b 2n-5S0S1S2 2n-3 ro I r2 a bo b 其中,b= 上面表中,第一行依序排列特征方程的系数ao到an,然后以反向次序记入第 二行。以后各行用二阶行列式计算,然后再以反向次序记入下一行。当一行只 有三个数时,这个表就构成了。 朱利稳定判据:线性离散系统稳定的充分必要条件为 D(1)>0 D(->0为偶数 <0n为奇数 so|>3 朱利判据中的列表类似于劳思判据中的列表,但朱利判据不能说明有多少 特征根在单位圆外。朱利判据中列表虽然比较麻烦,但往往可以在列表之前先 检验D()的符号,或者D(-1)的符号,或者是否满足{a<an。这三个条件只 要有一个不满足,系统就是不稳定的。但如果都满足,系统可能是稳定的,也 可能是不稳定的,还需要通过列表检查后面的条件是否满足来确定。这个方法 类似于连续系统中先检验特征多项式D(s)的各项系数的符号是否一致。 例49已知系统的特征方程为 D()=8+2-7+3-6+2z5+z4+5x3+22+z+2=0 判别系统稳定性 大学自动化研究所13
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 4 bn−1 bn−2 bn−3 … bj−1 … 1 b b0 5 0 c 1 c 2 c … n j c − … n−2 c 6 n−2 c n−3 c n−4 c … j−2 c … 0 c M M M M M 2n-5 0 s 1s 2 s 3 s 2n-4 3 s 2 s 1s 0 s 2n-3 0r 1r 2r 其中， n j n j j a a a a b − = 0 ， n j n j j b b b b c 1 0 1 − − − = ，(j=0,1,2,…) 3 0 0 3 0 s s s s r = ， 3 1 0 2 1 s s s s r = ， 3 2 0 1 2 s s s s r = 。 上面表中，第一行依序排列特征方程的系数 到 ，然后以反向次序记入第 二行。以后各行用二阶行列式计算，然后再以反向次序记入下一行。当一行只 有三个数时，这个表就构成了。 a0 an 朱利稳定判据:线性离散系统稳定的充分必要条件为 ⎩ ⎨ ⎧ < > − > 为奇数 为偶数 n n D D 0 0 ( 1) (1) 0 0 2 0 3 0 2 0 1 0 r r s s c c b b a a n n n > > > > < − − M 朱利判据中的列表类似于劳思判据中的列表，但朱利判据不能说明有多少 特征根在单位圆外。朱利判据中列表虽然比较麻烦，但往往可以在列表之前先 检验 D(1) 的符号，或者 D(−1) 的符号，或者是否满足 n a < a 0 。这三个条件只 要有一个不满足，系统就是不稳定的。但如果都满足，系统可能是稳定的，也 可能是不稳定的，还需要通过列表检查后面的条件是否满足来确定。这个方法 类似于连续系统中先检验特征多项式 D(s) 的各项系数的符号是否一致。 例 4.9 已知系统的特征方程为 ( ) 2 3 2 5 2 2 0 8 7 6 5 4 3 2 D z = z + z + z + z + z + z + z + z + = 判别系统稳定性。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 13
自动控制原理电子教 解因为a=2>ag=1,不满足kao<an的条件,或者因为D-1)=-1<0 不满足“当n为偶数,D(-1)>0”的条件,所以,该系统不稳定 例410已知系统的特征方程为 判别系统稳定性。 解因为D(1)=57>0,D-1)=0.1<0,k=08<a3=1,所以满足朱利判 据的前三个条件,下面再列表检验是否满足后面的条件 0.81.92 2121.90.8 30.36-048-0.3 可见,也满足约束条件|=036>b2|=03,所以,该系统是稳定的。 2.舒尔科恩稳定判据 定义行列式△如下: 4\-4a-2ma0.0.---an at 00a0 其中,a和a为共轭复数,对于实系数特征方程,a1=a1(=0,1,2,n 舒尔-科恩稳定判据:线性离散系统闭环特征根在单位圆内的个数,等于 序列{△1,△2,…,△n}符号变化的次数。离散系统稳定的充分必要条件是序列 △1,△2,…,△n}的符号变化n次,即 △,<0,j为奇数 1△>0,/为偶数 J 舒尔一科恩判据不仅能判别系统是否稳定,而且能指出有多少特征根位于 单位圆内,显然,位于单位圆外的不稳定特征根的个数等于系统阶次与位于单 位圆内的特征根的个数之差 例411已知系统的开环Z传递函数为 G()= (245x+1)(2452 判别闭环系统的稳定性
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 解 因为 2 1 a0 = > a8 = ，不满足 n a < a 0 的条件，或者因为 D(−1) = −1 < 0 ， 不满足“当 n 为偶数， D(−1) > 0 ”的条件，所以，该系统不稳定。 例 4.10 已知系统的特征方程为 ( ) 2 1.9 0.8 0 3 2 D z = z + z + z + = 判别系统稳定性。 解 因为 D(1)=5.7>0，D(-1)=-0.1<0， 0.8 1 a0 = < a3 = ，所以满足朱利判 据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件： 1 0.8 1.9 2 1 2 1 2 1.9 0.8 3 -0.36 -0.48 -0.3 可见，也满足约束条件 0.36 0.3 b0 = > b2 = ，所以，该系统是稳定的。 2．舒尔-科恩稳定判据 定义行列式 ∆ j 如下： j j n j n j n n n j n j j j n n n j n n n j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 1 2 0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × − + − + − − − − − − + − − + ∆ = L L v M M O M M M O M L L L L L L M M O M M M O M L L L L （4.29） 其中， a 和 a 为共轭复数，对于实系数特征方程， ai = ai (i=0,1,2,…,n)。 舒尔-科恩稳定判据：线性离散系统闭环特征根在单位圆内的个数，等于 序列{1,∆1 ,∆2 ,L,∆n }符号变化的次数。离散系统稳定的充分必要条件是序列 {1,∆1 ,∆2 ,L,∆n }的符号变化 n 次，即 j n j j j j 1,2, , 0, 0, = L ⎩ ⎨ ⎧ ∆ > ∆ < 为偶数 为奇数 舒尔—科恩判据不仅能判别系统是否稳定，而且能指出有多少特征根位于 单位圆内，显然，位于单位圆外的不稳定特征根的个数等于系统阶次与位于单 位圆内的特征根的个数之差。 例4.11 已知系统的开环 Z 传递函数为 (2.45 1)(2.45 1) ( ) + − = z z z G z 判别闭环系统的稳定性。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 14
解闭环特征方程为 D(二)=(2452+1)(245-1) l=0 :=6 61 1061 1-106 60-11 160 可见,满足系统稳定的充分必要条件,所以,系统是稳定的。 3.修正劳思稳定判据 连续系统的分析、设计方法是基于S平面的,系统的稳定边界是S平面的 虚轴。由于离散系统的稳定边界是Z平面上以原点为圆心的单位圆,所以,不 能直接用连续系统的分析、设计方法。如果通过一个变换,将Z平面的单位圆 内部变换到一个新的复平面W的左半平面,而将Z平面的单位圆外部变换到 新的复平面W的右半平面,Z平面的单位圆周变换到新的复平面W的虚轴 如图44所示,则可以在W平面上,利用连续系统的分析与设计方法来分析与 图44Z平面与W平面的变换 设计线性离散系统。 具有上述功能的最简单、最常用的变换是双线性变换。双线性变换可以表 达为 (4.30a) 或者 双线性变换也可以取为 离散系统的Z域特征方程D(z)=0经过双线性变换后,得到W域的特征方 程,记为D(w)=0。显然,判别系统稳定性,即判别D(z)=0的根是否都在Z平 面的单位圆内,等价于判别D(w)=0的根是否都在W平面的左半平面。可以采 用劳思、赫尔维兹等稳定判据判别D(w)=0的根是否都在W平面的左半平面 例412离散系统的特征方程为
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 解 闭环特征方程为 ( ) (2.45 1)(2.45 1) 6 1 0 2 D z = z + z − + z = z + z − = 35 0 6 1 1 6 1 = − < − − ∆ = 1176 0 1 6 0 1 6 0 1 1 1 1 0 6 1 0 6 1 2 = > − − − − ∆ = 可见，满足系统稳定的充分必要条件，所以，系统是稳定的。 3. 修正劳思稳定判据 连续系统的分析、设计方法是基于 S 平面的，系统的稳定边界是 S 平面的 虚轴。由于离散系统的稳定边界是 Z 平面上以原点为圆心的单位圆，所以，不 能直接用连续系统的分析、设计方法。如果通过一个变换，将 Z 平面的单位圆 内部变换到一个新的复平面 W 的左半平面，而将 Z 平面的单位圆外部变换到 新的复平面 W 的右半平面，Z 平面的单位圆周变换到新的复平面 W 的虚轴， 如图 4.4 所示，则可以在 W 平面上，利用连续系统的分析与设计方法来分析与 设计线性离散系统。 0 -1 1 [Z ] [W ] 图4.4 Z平面与W平面的变换 具有上述功能的最简单、最常用的变换是双线性变换。双线性变换可以表 达为 1 1 − + = z z w （4.30a） 或者 1 1 − + = w w z （4.30b） 双线性变换也可以取为 1 1 + − = z z w （4.31） 离散系统的 Z 域特征方程 D(z)=0 经过双线性变换后，得到 W 域的特征方 程，记为 D(w)=0。显然，判别系统稳定性，即判别 D(z)=0 的根是否都在 Z 平 面的单位圆内，等价于判别 D(w)=0 的根是否都在 W 平面的左半平面。可以采 用劳思、赫尔维兹等稳定判据判别 D(w)=0 的根是否都在 W 平面的左半平面。 例 4.12 离散系统的特征方程为 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 15