13 (x2-4x2+4x2)h x2dx-4x2dx+4 x2dx 2 例3:求 (x-√x(1+ 解: (x-√x)(1+√x) 6 7 dx=xdx-x6 dx==x x+c 例4:求 sin xcos x dx ix sin x cos x cos x" sIn x 例5:求」(10+crg2x)kh (102+cg2x)x ∫0+∫agh=」o+ x sIn x 0b+∫- SIn x ctgr-x+c In 10 例6:求 解: 1+x2-1 dx=dx +x 6
6 ＝ x x x dx ( − 4 + 4 ) 2 5 2 3 2 1 ＝ x dx x dx x dx − + 2 5 2 3 2 1 4 4 ＝ x − x + x + c 2 7 2 5 2 3 7 8 5 8 3 2 例 3：求 dx x x x x − + 3 ( )(1 ) 。 解： dx x x x x − + 3 ( )(1 ) ＝ dx x dx x dx x x c x x x x = − = − + − 6 7 6 13 6 1 6 7 3 7 6 13 6 例 4：求 x x dx 2 2 sin cos 。 解： x x dx 2 2 sin cos ＝ = + + x dx x dx dx x x x x 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin cos ＝tgx−ctgx+ c 例 5：求 ctg x dx x (10 + ) 2 。 解： ctg x dx x (10 + ) 2 ＝ dx x x dx ctg dx dx x x − + = + 2 2 2 sin 1 sin 10 10 ＝ dx x 10 + − dx x dx 2 sin ＝ ctgx x c x 10 − − + ln 10 1 例 6：求 + dx x x 2 2 1 。 解： + dx x x 2 2 1 ＝ + + − dx x x 2 2 1 1 1 ＝ + = − + − dx x dx dx x 2 2 1 1 ) 1 1 (1
x-arctex+c 例7:「(chx-5x4+10h10dx=shx-x3+102+c 62分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则,以及积分公式表,但我们仅对较简单 的函数易求不定积分,而对较复杂的就较难求了 例如:∫xmxd就不能用运算法则来求 另外,如∫cos2xdk亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积 分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求,把不能用公式表示的化为用公式来表 分部积分法 如果和v都是x的可微函数,由函数乘积的导数公式,有: (uv)=uv+vu lnv’=(nv)-v 从而由不定积分法则与不定积分定义,有: ∫md=j(nya-jvd 亦即 nv’dx=l- Ivu dx (1) 或 udv= uv-vde (2) (1)或(2)式称为分部积分公式 问题1:什么样的函数用分部积分公式? 我们先来看看首先提出的问题 例1:求 xsin xdx 解:设u=x,d= sin xdx,则d=dx,v=-cosx,由公式(2)有: xsin xdx=-xcosx-(cos x )dx
7 ＝ x − arctgx + c 例 7： chx x dx shx x c x x − + = − + + ( 5 10 ln 10) 10 4 5 6.2 分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则，以及积分公式表，但我们仅对较简单 的函数易求不定积分，而对较复杂的就较难求了。 例如： x sin xdx 就不能用运算法则来求。 另外，如 xdx 2 cos 亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积 分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求，把不能用公式表示的化为用公式来表 示。 一、分部积分法 如果 u 和 v 都是 x 的可微函数，由函数乘积的导数公式，有： (uv)'= uv'+vu' 或 uv' = (uv)'−vu' 从而由不定积分法则与不定积分定义，有： uv'dx = (uv)'dx − vu'dx 亦即 uv'dx = uv − vu'dx （1） 或 udv = uv − vdu （2） （1）或（2）式称为分部积分公式。 问题 1：什么样的函数用分部积分公式？ 我们先来看看首先提出的问题。 例 1：求 x sin xdx 。 解： 设 u = x,dv = sin xdx ,则 du = dx,v = −cos x ，由公式（2）有： x sin xdx ＝ − x cos x − (−cos x)dx
=-xcosx+cos xdx=-xcos x+sin x+C 如果没有分部积分公式,xSnx是无论如何也积不出来的。一般来说 xhx, x" sin bx, x cos bx,xeox, x arcsin ax, x arctgbx等等的不定积分要应用 分部积分公式。 但是有一个问题,例如在例1中 选取u=snx,dhv=xdx,用分部积分公式(2)求出d与v,则 du d 由分部积分公式(2),有: xsin xdx= cosx 这样不正当的选取u,v使得不定积分由简化繁,把问题变得更复杂了 问题2.究竟怎样选取u、ⅴ才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢? 例2.求hxdx 解:设u=hx,b=女则如=a,=x。从而 x-x xhnx-x+c 由例1和例2启发,我们知道在xhnx与 x sin bx中,令 In 例3.求 解:设l=hnx,dh x2则a。1 d x d +c -(nx+1)+c
8 ＝ − x cos x + cos xdx＝ − xcos x +sin x + c 如果没有分部积分公式， xsin x 是无论如何也积不出来的。一般来说： ln , sin , cos , , k k k k cos x x x x bx x bx x e x ax x arctgbx k k arcsin , 等等的不定积分要应用 分部积分公式。 但是有一个问题，例如在例 1 中： 选取 u = sin x,dv = xdx ，用分部积分公式（2）求出 du 与 v ，则 2 cos , 2 x du = xdx v = 由分部积分公式（2），有： = − xdx x x x x xdx cos 2 sin 2 sin 2 2 这样不正当的选取 u, v 使得不定积分由简化繁，把问题变得更复杂了。 问题 2．究竟怎样选取 u、v 才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢？ 例 2．求 ln xdx 解：设 u = ln x ， dv = dx 则 dx x du 1 = ，v = x 。从而 ln xdx = − dx x x x x 1 ln = xln x − x + c 由例 1 和例 2 启发，我们知道在 x x k ln 与 x bx k sin 中，令 ln x = u ， x dx dv k = ，sin bxdx = du ， x v k = 。 例 3．求 dx x x 2 ln 解：设 u = ln x ， 2 x dx dv = ，则 dx x du 1 = ， x v 1 = − ，有 dx x x 2 ln = − + 2 ln x dx x x = c x x x − − + ln 1 = x c x − (ln +1) + 1