第20讲、金属费米面和能量态密度 1、费米面和布里渊区 1.费米面和布里渊区 ·7=0时电子的最高的填充能级,为费米能级E 2.自由电子费米面 米能级(=0是电子最高占据能级,特别量要 3.布里渊边界处费米面晴变 随波夫k连续的变化的 4.从自由电子过渡到近自由电子费米面 个等能面(曲面,这样的曲面称为贵米面一 贵米是基态时电子占据态与非占据态的分界面 5.近自由电子费米面 6.能量态密度 7.空格点模型态密度 认能带结构可以看出,由于周期性势场的作 用,一般的费米面形状可能很复杂 van hove奇点 ·自由电子气的费米面为球面 金属电子,接近自由电子,费米面是一崎变球面 半导体、绝缘体不用费米面,而用价带顶念 种p∥45.2413che國体学 布里渊区 趣452413 binche体嚼理学 2、自由电子费米面 四价金属 ·根据价电子数N决定费米圆的半 以费米波矢k 导电电子面密度NA 为半径作圆 费米球半径,四价金属 与第二、三 四布里渊区 相交 第一能带,全 k。=2x 2丌 部占满 第二、三、四 能带部分 http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学
1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第20讲、金属费米面和能量态密度 1. 费米面和布里渊区 2. 自由电子费米面 3. 布里渊边界处费米面畸变 4. 从自由电子过渡到近自由电子费米面 5. 近自由电子费米面 6. 能量态密度 7. 空格点模型态密度 8. van Hove奇点 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、费米面和布里渊区 • T=0时电子的最高的填充能级，为费米能级EF * 费米能级(T=0)是电子最高占据能级，特别重要 • 随波矢k连续的变化的E(k)= EF在k空间构成一 个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面 * 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 * 电子输运性质是由费米面附近的电子态决定的，因 此，了解费米面的结构非常重要 • 从能带结构可以看出，由于周期性势场的作 用，一般的费米面形状可能很复杂， * 自由电子气的费米面为球面 * 金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面 * 半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 1 2 3 4 4 二维正方格子的布里渊区 布里渊区 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 2、自由电子费米面 • 根据价电子数N决定费米圆的半径 • 导电电子面密度N/A • 费米球半径， 四价金属 一维 二维 三维 2 2 3 1 2 1 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = L N k A N k V N k F F F π π π / / A a kF π π π 4 2 2 2 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = / http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 四价金属 • 以费米波矢kF 为半径作圆， • 与第二、三、 四 布里渊区 相交 • 第一能带，全 部占满 • 第二、三、四 能带部分
围绕着 前面是费米面的广延图,第一布里洲区已被占 邻近的 四布里渊区被部分占满 倒格点 作半径 通常在简约布里渊区作费米面 为k的 移动各个分片,即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区,按不同能带作费米面 以看出 每个B 区的碎 片形状 x黑黑题■ p的45.24132dhe 体理学 3、布里渊边界处费米面崎变? ·因此,等能面在布里渊区边界是不连续的,不 边界处由于畸变 能连续穿越布里渊区边界 起的能量与 而且,等能面与布里消区边界垂直相交,看布 的关系变化 里渊区边界面(k=K/2,k=K2)处的斜率 Aa(-a(湖。- 由电子的大 E(k)=E(k+K) a(·a(。。 高开边 VE(k)2=0 ·所以费米面与布里渊区边界垂直相交 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 P和Q是倒格点, 等能面过布里渊区边界·K是倒格矢 Bragg反射面上的费米球 等能面S(实线)与 边界相交 S'是其等价等能 面,罔期性 现不连续过界 分球 ·S不能连续地通过 边界 ·修正,國弧 与边界垂直 等能面在B区边界 种45.2413yche是学 发生突变 趣452413 binche物理学
2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 围绕着 邻近的 倒格点 作半径 为kF的 圆，可 以看出 每个B 区的碎 片形状 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 • 前面是费米面的广延图，第一布里渊区已被占 满，第二、三、四布里渊区被部分占满 • 通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片 到第一布里渊区，按不同能带作费米面 1 2 3 4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、布里渊边界处费米面畸变？ • 边界处由于畸变 引起的能量与k 的关系变化 * 对第一能带，同 样的能量，近自 由电子的k比自 由电子的大 * 对第二能带正好 相反 * 靠近边界时，等 能面向外凸 * 离开边界是，等 能面向内缩 k E(k) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 • 因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不 能连续穿越布里渊区边界 • 而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布 里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率 • 所以费米面与布里渊区边界垂直相交 E(k) = E(−k) E(k) = E(k + K) 0 2 ∇ = k ±K / E(k) k k k E k E ∂ ∂ = − ∂ ∂ K / 2 ∂ −K / 2 ∂ = − ∂ ∂ k E k E k ∂ k+K ∂ = ∂ ∂ k E k E K / 2 ∂ −K / 2 ∂ = ∂ ∂ k E k E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 等能面过布里渊区边界 • P和Q是倒格点， * K是倒格矢 * 垂直于K的直线 即B区边界 • 等能面S(实线)与 边界相交 * S’是其等价等能 面，周期性 * 现不连续过界 • S不能连续地通过 边界 * 修正，圆弧 * 圆弧与边界垂直 相交 • 等能面在B区边界 发生突变 Kh P Q S S’ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 Bragg反射面上的费米球
费米面的畸变 渡到近自由电子近似,费米面在靠近布里渊 区边界发生晴变 能面在远高布里渊区边界处,与自由电子相近 她比自专视.因配睫酸圆 3.等能叫离开布里渊区边界时,电子能量随波数k的 正方格子一、二、三和四价金属的费米面 增加比自由电子快,因此等能线离國而向内收 先作自由电子费米面,靠近边界处有畸变 ·上图自由电子;下图近自由电子 种p∥45.2413che國体学 体理学 4、从自由电子过渡到近自由电子费米面 步骤( Harrison方法) 自由电子,夤米球 倒格子—画布里渊区 靠近边界处,费米面有喷变 自由电子:画半径与电子浓度有关的球 ·费米面与布里渊区边界垂直相交 将处在第二、三、…布里渊区的费米面碎片 ·费米面上的尖角钝化 分别移到第一布里渊区 ·费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度 变形费米面,使滿足 而不依赖于点阵相互作用细节 1.与布里渊区边界垂直相交 2.尖角钝化 3.贵米面包围的总体积不变 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 等能面:二维正方格子等能面 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学
3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 二维正方格子一、二、三和四价金属的费米面 • 先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变 • 上图自由电子；下图近自由电子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 费米面的畸变 • 过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊 区边界发生畸变： 1. 等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近， 也是圆 2. 等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸 出 3. 等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的 增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收 缩 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 4、从自由电子过渡到近自由电子费米面 • 自由电子，费米球 • 靠近边界处，费米面有畸变 • 费米面与布里渊区边界垂直相交 • 费米面上的尖角钝化 • 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度， 而不依赖于点阵相互作用细节 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 步骤（Harrison方法） • 倒格子——画布里渊区 • 自由电子：画半径与电子浓度有关的球 • 将处在第二、三、… 布里渊区的费米面碎片 分别移到第一布里渊区 • 变形费米面，使满足 1. 与布里渊区边界垂直相交 2. 尖角钝化 3. 费米面 包围的总体积不变 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 等能面：二维正方格子等能面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18
种p∥45.2413che國体学 体理学 5、近自由电子费米面 自由电子(fc空晶格模型费米面 简约图:将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示 扩最图 Brillouin I clectron cell 2 electrons/cell 3 electrons cell Second 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 自由电子(bcc空晶格模型费米面 自由电子(hcp空晶格模型)费米面 Brillouin I electron'eell 2 eleetronvcell 3 elcctron/cell Fourth 种中p加a4524
4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 5、近自由电子费米面 • 简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布 里渊区表示 • 扩展图 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 自由电子(fcc空晶格模型)费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 自由电子(bcc空晶格模型)费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 自由电子(hcp空晶格模型)费米面
金属费米面 6、能量态密度 ·孤立原子中,能级分裂,每个能级能填两个不 同状态的电子 而晶体中,能级准连续分布形成能带(能级间 隔102leV)。电子能级非常密集,标明每个能 级没有意义 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区城!比如说,高温超导材料的 个特征就是费米面附近的能级密度非常高 ·如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢? 体理学 能带与态密度的关系 k2 能量态密度就是表示这种密集程度的量 自由电子气模型中,已知dSdk 能态密度的定义: 在k空间(也称状态空间) 能量在E-E+dE的状态数 状态分布是均匀的,密度 ·如果dZ表示状态数目,则态密度为 为v/(2丌)3 ·对是体电子也如 因此,在k空间,如图两个 D(E)= E和E+dE等能面之间的状k dE 态数为 (2) 45.24112gche园体制学 考虑自旋 体理学 ·仿照电子气AE=VE(kak 7、空格点模型态密度 于是yn:(2 ·在k空间等能面是球面,半径为 所以D(E) d E(2x) ,E(k 2me 如将积分区间限制在第一布里渊区,则E(k是 多值函数,不止一条能带,则 ·在球面上 下、Ek)=2=M 柳m思考:二单、一维的能量状态密度?。 趣452413 binche物理学
5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 金属费米面 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 6、能量态密度 • 孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不 同状态的电子； • 而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间 隔10-21eV）。电子能级非常密集，标明每个能 级没有意义 • 但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存 在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的 一个特征就是费米面附近的能级密度非常高 • 如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 能量态密度就是表示这种密集程度的量 • 能态密度的定义： 能量在E~E+dE的状态数 • 如果dZ表示状态数目，则态密度为 dE dZ D(E) = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 能带与态密度的关系 • 自由电子气模型中，已知 在k空间(也称状态空间)， 状态分布是均匀的，密度 为V/(2π)3。 * 对晶体电子也如此 • 因此，在k空间，如图两个 E和E+dE等能面之间的状 态数为 ( ) Δ = ∫ dSdk ⊥ V Z 3 2 2 π 考虑自旋 kx ky kz dSdk http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 • 仿照电子气 Δ = ∇k k k ⊥ E E( ) d • 于是 ( ) Δ = ∫ S k ⊥ d d V Z 3 2 2 π • 所以 ( ) ( ) ( ) ∫ ∇ = Δ Δ = k S kE V d E Z D E 3 2 2 π • 如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是 一多值函数，不止一条能带，则 ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ ∇ = j E j V d D E k S k 3 2 2 π ( ) ( ) E E V d Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇ = ∫ k S k 3 2 2 π (k) k kE E d ∇ Δ ⊥ = 思考：二维、一维的能量状态密度？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 7、空格点模型态密度 • 能带 ( ) m k E 2 2 2 h k = • 在k空间等能面是球面，半径为 h mE k 2 = • 在球面上 ( ) m k dk dE E 2 h ∇k k = =