《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.2）二重积分的计算法

今计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域D的草图 (2)用不等式组表示积分区域D (3)把二重积分表示为二次积分: 如果D是X型区域:(x)y≤02(x),a≤x≤b,则 b,c2( f(x,y)d=ax…f(x,y)y 1(x) 如果D是Y型区域:v(0)≤x≤v0),C≤y≤,则 d rv2(y) f(x, yao f(x, y)dx ldy c JVl) D (4)计算二次积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃    = d c y y D f x y d f x y dx dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) [ ( , ) ] y y  .    = b a x x D f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) j j  . 如果D是X型区域 j1 (x)yj2 (x), axb, 则 ❖计算二重积分的步骤 如果D是Y型区域 y1 (y)xy2 (y), cyd, 则 (1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分 (4)计算二次积分. 下页

例1计算∫x,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所 围成的闭区域. y 解画出区域D D 方法一,把D看成是X型区域 D:1≤x≤2,1≤x 于是 xiao xydyldx D [. 1dx=L(x3-x)dx 2 2142 8 积分还可以写成时x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 画出区域D. 方法一, 把D看成是X型区域 于是 D 1x2, 1yx. 下页 围成的闭区域. 例 1 计算 x yd D  , 其中 D 是由直线 y=1、x=2 及 y=x 所    = 2 1 1 [ ] x D xyd xydy dx   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x .    = 2 1 1 [ ] x D xyd xydy dx   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x .   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x . 注      = = 2 1 1 2 1 1 x x D 积分还可以写成 x yd dx xydy xdx ydy .      = = 2 1 1 2 1 1 x x D xyd dx xydy xdx ydy

例1计算∫x,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所 围成的闭区域. y 解画出区域D D 方法二,把D看成是Y型区域 D:1≤y2,y≤x≤2 于是 ∫xyG=J∫y D D]=[(21y地hD2-y129 88 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃    = 2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy D 1y2, yx2. 下页 解 画出区域D. 方法二, 把D看成是Y型区域 围成的闭区域. 例 1 计算 x yd D  , 其中 D 是由直线 y=1、x=2 及 y=x 所 于是   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y .    = 2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y .   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y