例3判定下列级数的敛散性:,Sx SIn ∑ 3-n’3n SIn ()解!fi=lr3",≌,原级数发散 n→ 1→0 250发和1 n C2) Lu -3n→ -2> 11 3 3以啊级点,9 a 收敛,故原级数收敛 、及袋9以
例 3 判定下列级数的敛散性: (1) =1 1 sin n n ; (2) =1 3 − 1 n n n ; 解 (1) n n n n 3 1 3 1 lim − → n n n 1 1 sin lim → = = 1, 原级数发散. (2) n n n 1 lim sin → n n n 3 1 1 lim − = → = 1, , 3 1 1 收敛 n= n 故原级数收敛
例3判定下列级数的敛散性 oo (1) ∑ sIn ∑ n=1 3-n M→∞
例 3 判定下列级数的敛散性: (1) =1 1 sin n n ; (2) =1 3 − 1 n n n ;
6.比值审敛法(达朗贝尔 D'ALembert判别法): 设∑1.是正项级数如果lm“m=P(数或+a) n→Q n=1 n 0≤ 则p<1时级数收敛;p>1时级数发散;p=1时失效 证明当p为有限数时,对v>0, 日N,当n>N时,有m p<8, 即p-E<<p+E(n>N)
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. 证明 当为有限数时, 对 0, N, 当n N时, , 1 − + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n − + + 即
当p<时,取8<1-p,使r=ε+p<1, N+2 <ru N 十 3 N+2 <ru N+15 u N+m <r u N+19 而级数∑rux+收敛, ∑u+m=∑u收敛,收敛 n=1 H=N+1 当ρ>埘时,取E<p-1,使r=p-E>1, 当n>N时,Lm1>mn>un, limu≠0.发散 n→0
当 1时, 当 1时, 取 1− , 使r = + 1, , 1 1 + − + N m uN m r u , N +2 N +1 u ru , 1 2 N +3 N +2 uN + u ru r , , 1 1 1 = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1 收敛 = + = + = n N u m uN m u 收敛 取 −1, 使r = − 1, 当n N时, , n 1 n un u + ru lim 0. → n n u 发散
比值审敛法的优点:不必找参考级数 两点注意: 1.当p=1时比值审敛法失效; 例级数∑发散, =1n (=1) 级数∑收敛,xc=1 H=1
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效; , 1 1 例 级数 发散 n= n , 1 1 级数 2 收敛 n= n ( = 1)