123 a12 n-1 例题4计算Dn=xx1…m-2 第一章:行列式 解从第2行开始,每行×(-1)加到前一行,然后令右下角的1=(1-x)+x 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 将行列式表示为两个行列式之和,得 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 1-x1 0 期末考试模拟试题 01-x1 11 01-x1 0 0 0 01-x 0 主讲:张少强 0 0 0 1-x0 标题页 x00 01 0 01 01 第6页共30页 00 全屏显示
天津师范大学 1òŸµ1 ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:– CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£ [£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 6 ê 30 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ~K4 OéDn = 1 2 3 · · · n x 1 2 · · · n − 1 x x 1 · · · n − 2 . . . . . . . . . . . . x x x · · · 1 . ) l121m©, z1×(−1), \cò1, ,-me1 = (1 − x) + x, Ú1™L´è¸á1™É⁄, Dn = 1 − x 1 1 · · · 1 1 0 1 − x 1 · · · 1 1 0 0 1 − x · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 1 x x x · · · x 1 = 1 − x 1 1 · · · 1 0 0 1 − x 1 · · · 1 0 0 0 1 − x · · · 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 0 x x x · · · x 1 − x + 1 − x 1 1 · · · 1 1 0 1 − x 1 · · · 1 1 0 0 1 − x · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − x 1 x x x · · · x x = (1 − x) n + −x 0 0 · · · 0 1 −1 −x 0 · · · 0 1 −1 −1 −x · · · 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . −1 −1 1 · · · −x 1 x x x · · · x x = (1 − x) n − (−1)n−1x n = (−1)n [(x − 1)n − x n ]
2第二章:矩阵及其运算 复习要求 1.矩阵的概念.知道零矩阵,行矩阵(行向量,列矩阵(列向量),对角矩阵, 单位矩阵,对称矩阵等 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 2.矩阵的线性运算(加法和数乘)矩阵的乘法运算,矩阵的转置,方阵的行 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 列式以及它们的运算规律.例如 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 (a)(入)A=A(A); 模拟试题参考答案 (b)(入+p)A=AA+pA: (c)X(A+B)=XA+AB 主讲:张少强 d)(ABC=A(BC); 标题页 (e)入(AB)=(A入AB=A(AB); f)A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA (g)EA=AE=A 第7页共30页 (h)矩阵的乘法一般不满足交换律;即AB≠BA; ()(A+B)=A+B1 全屏显示 ()(AB)=BA (k)A=XA (1)AB=|A||B|;|AB|=|BA
天津师范大学 1òŸµ1 ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:– CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£ [£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 7 ê 30 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 2 1Ÿ: › 9Ÿ$é ESᶠ1. › Vg. "› , 1› (1ï˛), › (ï˛), È› , ¸†› , È°› . 2. › Ç5$é(\{⁄Ͷ), › ¶{$é, › =ò, ê 1 ™±9ßÇ$é5Æ. ~X: (a) (λµ)A = λ(µA); (b) (λ + µ)A = λA + µA; (c) λ(A + B) = λA + λB; (d) (AB)C = A(BC); (e) λ(AB) = (λA)B = A(λB); (f) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (g) EA = AE = A; (h) › ¶{òÑÿ˜vÜÆ; =AB 6= BA; (i) (A + B) T = AT + BT (j) (AB) T = BTAT . (k) |λA| = λ n |A|; (l) |AB| = |A| |B|; |AB| = |BA|.
3.方阵A的伴随矩阵的定义,AA=AA=AE 4.逆矩阵的定义:η阶方阵A和B有AB=BA=E.A-1 A*.逆 第一章:行列式 矩阵可逆的充要条件是A|≠0 第二幸:矩阵及其运算 第三章初等变换与线 5.逆矩阵的性质:(A-1)-1=A,、(A)-1=(4-1),(AB)=B1A-1 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 6.分块对角矩阵 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 N、0…As O 主讲:张少强 标题页 其中A1(i=1,2,,s)都是方阵,分块对角矩阵的行列式具有性 质|A|=|A124…| 4 第8页共30页 4 全屏显示 As
天津师范大学 1òŸµ1 ™ 1Ÿ: › 9Ÿ$é 1nŸ:– CÜÜÇ . . . 1oŸ:ï˛|Ç5 . . . 1 Ÿ:Éq› Üg. œ"£ [£K [£KÎâY Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 8 ê 30 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 3. ê Aäë› ½¬, AA∗ = A∗A = |A|E. 4. _› ½¬: n ê A⁄BkAB = BA = E. A−1 = 1 |A| A∗ . _ › å_øá^á¥|A| 6= 0 5. _› 5ü: (A−1 ) −1 = A,(AT ) −1 = (A−1 ) T ,(AB) −1 = B−1A−1 . 6. ©¨È› A = A1 O A2 . . . O As , Ÿ•Ai(i = 1, 2, . . . , s)—¥ê , ©¨È› 1™‰k5 ü|A| = |A1||A2| · · · |As|. A −1 = A −1 1 O A −1 2 . . . O A−1 s
例题1已知n阶方阵A满足A2=A,求(A+E)-1 解 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 A2=A→(A+E)(A-2E)=-2E 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 (A+E)(-(A-2E)=E 第五章相似矩阵与二次型 期末考试模拟试题 模拟试题参考答案 由可逆定义=(A+E) (A-2E) 例题2设n阶方阵满足A2+A-4E=O,求(A-E)-1 主讲:张少强 解 标题页 A2+A-4E=O=(A+2E)(A-E)=2E A+E(A-E)=E 第9页共30页 由可逆定义→(A-E)=3A+E 全屏显示 P67-68课后习题9,10,11,15,16,17
天津师 范大学 1 ò Ÿ µ 1 ™ 1 Ÿ : › 9 Ÿ $ é 1 n Ÿ : – C Ü Ü Ç . . . 1 o Ÿ : ï ˛ | Ç 5 . . . 1 Ÿ : É q › Ü g . œ " £ [ £ K [ £ K Î â Y à ˘ : ‹ r I K ê JJ II J I 1 9 ê 30 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ~ K 1 Æ n ê A ˜ v A 2 = A , ¶ ( A + E ) − 1 ) A 2 = A =⇒ ( A + E)( A − 2 E) = − 2 E =⇒ ( A + E)( − 12 ( A − 2 E)) = E d å _ ½ ¬ =⇒ ( A + E ) − 1 = − 12 ( A − 2 E ). ~K2 n ê ˜vA2 + A − 4E = O, ¶(A − E)−1. ) A2 + A − 4E = O =⇒ (A + 2E)(A − E) = 2 E =⇒ ( 12 A + E)( A − E) = E d å _ ½ ¬ =⇒ ( A − E ) − 1 = 12 A + E. P.67-68 ë S K 9, 10, ,11, 15, 16, 17
本章关键是求逆矩阵 方法一用伴随矩阵求A1=kA*.参考P56例10 第一章:行列式 第二幸:矩阵及其运算 方法二用初等变换求(A,E)初等行换(E,A-1).参考P90例8 第三章初等变换与线 第四章向量组的线性 第五章相似矩阵与二次型 判断一个矩阵是可逆有很多方法 期末考试模拟试题 n阶矩阵A可逆 →存在m阶矩阵B,使AB=BA=En(定义) 主讲:张少强 →|A≠0←→A为非奇异矩阵 标题页 它的伴随矩阵A*是可逆矩阵 A的行阶梯形矩阵有n个非零行 A~En(A可经过初等变换化成标准形En) A的秩R(A)=n(←→A是满秩矩阵) 第10页共30页 A是若千个初等方阵之积 →齐次线性方程组A=0只有零解 非齐次线性方程组Ax=b只有唯一解 全屏显示 令→A的(行)列向量组线性无关 →A的n个特征值均非零
天津师 范大学 1 ò Ÿ µ 1 ™ 1 Ÿ : › 9 Ÿ $ é 1 n Ÿ : – C Ü Ü Ç . . . 1 o Ÿ : ï ˛ | Ç 5 . . . 1 Ÿ : É q › Ü g . œ " £ [ £ K [ £ K Î â Y à ˘ : ‹ r I K ê JJ II J I 1 10 ê 30 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — Ÿ ' Ö ¥ ¶ _ › . ê{ ò : ^ ä ë › ¶ A − 1 = 1 |A|A ∗ . Î P.56 ~10. ê{ : ^ – C Ü ¶ ( A , E ) –^ 1CÜ ( E , A − 1 ) . Î P.90 ~8. ‰ ò á › ¥ å _ k È ıê{ : n › A å _ ⇐⇒ 3 n › B , ¶AB = BA = E n. ( ½ ¬ ) ⇐⇒ | A| 6= 0 ⇐⇒ A è ö ¤ … › . ⇐⇒ ß ä ë › A ∗ ¥ å _ › . ⇐⇒ A 1 F / › k n á ö " 1 . ⇐⇒ A ∼ E n ( A å ² L – CÜz § I O / E n). ⇐⇒ A ù R ( A) = n (⇐⇒ A ¥ ˜ ù › ). ⇐⇒ A ¥ eZá – ê É » . ⇐⇒ ‡ g Ç 5 ê ß |Ax = 0 ê k " ) . ⇐⇒ ö ‡ g Ç 5 ê ß |Ax = b ê k ç ò ) . ⇐⇒ A ( 1 ) ï ˛ | Ç 5 à ' . ⇐⇒ A n á Aä ˛ ö "