2、自由振动微分方程的解 由方程:j+02y=0 (13-2) 通解:y(以)= Bcos at+ C sin ot B,C由初始条件定 t=0y10)=y0(初位移 y(0)=y=V(初速度) 代入通解,可得: B=yo, C=vo/a
2、自由振动微分方程的解 • 由方程：ÿ+ω2y = 0 • （13-2） • 通解：y(t)= B cos ωt + C sin ωt • B，C由初始条件定。 • t =0 y(0)= y0 ( 初位移 ) • y(0)= y0 = v0 ( 初速度 ) • 代入通解,可得： • B = y0 , C = v0 /ω k m
y(t)=locos at+vo/ sin at (13-3) 若令:y0= a sing Vo/a=a coso y(t=a sin(at+a 13-4) a=yo2+vo2/a a= tanl oo /voJ (13-5) 称为“谐振动”。a表示质点的最大位 移,称为振幅;α为初相角 由于 cost,inot都是周期函数,它们 每经历一定时间,就会出现相同的数值。 若给时间个增量7=2(o,则y,y的数值 均不变
称为“谐振动” 。a表示质点的最大位 移，称为振幅； α为初相角。 由于cosωt , sin ωt都是周期函数，它们 每经历一定时间，就会出现相同的数值。 若给时间t一个增量T=2π/ω，则y ,y的数值 均不变。 • y(t)= y0cos ωt +v0 /ω sin ωt （13-3） 若令： y0= a sinφ , v0 /ω = a cosφ y(t)=a sin(ωt+α) (13-4) a= y0 2+v0 2 /ω2 α =1tan-1 (y0ω /v0 ) (13-5 )
3、结构的自振周期和频率 (1)、周期T振动一次的时间。对 定体系是常数。 T=2兀/0 (13-6) 单位“秒(s) (2)、频率f单位时间的振动次数 (也称为工程频率) f=1T=/2兀 (13-7) 单位“1秒”或称为“赫 兹
3、结构的自振周期和频率 • （1）、周期T—振动一次的时间。对 一定体系是常数。 • T = 2π/ω （13-6） • 单位“秒（s）” • （2）、频率f—单位时间的振动次数 （也称为工程频率）。 • f =1/T=ω/2π （13-7） • 单位“1/秒”或称为“赫 兹
圆频率(习惯上简称为频率,自振 频率)-2个单位时间内振动次数。 0=2I/T=2T (13-8) 单位:rads,弧度/秒。 (3)、自振周期和频率计算公式的 几种形式: m (3-10 m d wS T=2 ws 2/m8=2xg 2兀
• 圆频率ω（习惯上简称为频率，自振 频率）—2π个单位时间内振动次数。 • ω=2π/T =2πf （13-8） • 单位：rad/s ，弧度/秒。 • （3）、自振周期和频率计算公式的 几种形式： (13-10) k m ω= = 1 m δ = g W δ = g ⊿st T=2π δ m =2π m δ =2π W δ g =2π g ⊿st
(4)、结构自振周期(频率)的 一些重要性质 ①、自振周期T(自振频率ω)只与 结构的质量和刚度(柔度)有关,与外 界干扰因素无关。(干扰力的大小只能 影响振幅,是初始条件) ②、T与m的平方根成正比(m大,T 大);T与的平方根成反比(k大,T Q与m的平方根成反比(m大,O 慢);a与k的平方根成正比(k大, 快)
（4）、结构自振周期（频率）的 一些重要性质 • ①、自振周期T（自振频率ω）只与 结构的质量和刚度（柔度）有关，与外 界干扰因素无关。（干扰力的大小只能 影响振幅，是初始条件）。 • ②、T与m的平方根成正比（m大，T 大）；T与k的平方根成反比（k大，T 小）。 • ω与m的平方根成反比（m大， ω 慢）； ω与k的平方根成正比（k大， ω 快）