6.正点阵晶面族(h2,h2,h2)与倒点阵格矢R相互垂直, Rn=(h1h1+h2b2+h23b3)且有: 2丌 证明:先证明倒格矢Rn=(h1b1+h2b2+h3b3) 与正格子的晶面系(h2h2h3)正交 如图所示,晶面系(内h1,h2,h3)中最靠近原点的晶面(ABC) 在正格子基矢a1,互2a3的截距分别为 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图
6. 正点阵晶面族 与倒点阵格矢 相互垂直， 且有： ( , , ) h1 h2 h3 证明：先证明倒格矢 与正格子的晶面系 (h1 ,h2 ,h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 (h1 ,h2 ,h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 a1 ,a2 ,a3 的截距分别为： 3 3 2 2 1 1 , , h a h a h a 𝐾ℎ 𝐾ℎ = (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3) 𝑑ℎ1ℎ2ℎ3 = 2𝜋 |𝐾ℎ| 𝐾ℎ = (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3)
于是: CA=OA-OC= h B CB=OB-OC= h h hhAh·CA= 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图 (hb+h2b2+hb3)· )=2x-2丌=0 同理Rn·CA=0而且CA,CB都在(ABC)面上, 所以Kn与晶面系(h1,h2,h3)正交
于是： 3 3 1 1 h a h a CA OA OC 3 3 2 2 h a h a CB OB OC ( ) ( ) 2 2 0 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 h a h a h b h b h b G h h h CA 同理 𝐾ℎ ∙ 𝐶𝐴 = 0 而且𝐶𝐴，𝐶𝐵 都在（ABC)面上， 所以 𝐾ℎ 与晶面系 (ℎ1, ℎ2, ℎ3) 正交。 𝐾ℎ ∙ 𝐶𝐴 =
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离,由于Kn⊥(ABC) Mm2=O·hh_a1(h1b1+h2b2+h253)_2 由此我们得出结论:倒点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的,它的方向是该族晶面的法线方向,而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒点阵基 矢对应一个阵点,因而可以说:晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这2个参量在倒点阵里只用一个点阵矢量(或说 阵点)就能综合地表达出来
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于𝐾ℎ ⊥ (𝐴𝐵𝐶) 由此我们得出结论：倒点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这2个参量在倒点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。 𝑑ℎ1ℎ2ℎ3 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐾ℎ 𝐾ℎ = 𝑎 1 ℎ1 (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3) 𝐾ℎ = 2𝜋 |𝐾ℎ|
2丌 2丌 hhh IKnl (h161+h2b2+h3b3 利用这一公式可以非常方便地计算面间距 对于立方格子:b=2x,b1=2zx 2丌 2a为品格常数 C h,h2h3 h++h 比如: l11 指数小的晶面系,面间距较大
利用这一公式可以非常方便地计算面间距 对于立方格子： z a y b a x b a b ˆ 2 ˆ , 2 ˆ , 2 1 2 3 a为晶格常数 2 3 2 2 2 1 1 2 3 h h h a dh h h 比如： 3 111 a d 指数小的晶面系，面间距较大 𝑑ℎ1ℎ2ℎ3 = 2𝜋 |𝐾ℎ| = 2𝜋 (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3)
立方晶系:dm=m21k2n2a=b=c 四方晶系:d HKL H2+k2 L2 六角晶系 HKL a=b≠C (H2+k+k2) L 2 正交晶系: HKL a≠b≠C H K L b C
立方晶系： 四方晶系： 六角晶系： 正交晶系： cba LKH a dHKL , 222 cba L c a H HK K a dHKL , ( ) 4 3 2 2 2 2 2 2 2 22 c L a KH 1 dHKL cba c L b K a H dHKL , 1 2 2 2