利用泊松求和公式∑e2m=∑6(x-h)可以得到: p()=∑ -12(k1+k2+k3y3) h12, 6(k-h)6(k2-h2)6(k-h2)=∑O(k一) 内,h2,h2 其中Kn=b+hb2+hb3,h、h在为整数
利用泊松求和公式 可以得到： 其中 ， 、 、 为整数。 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 i2 ( ) , , 1 1 2 2 3 3 , , ( ) ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l l l l h h h h h k e k h k h k h k K （ 2 i ( ) lz l h e z h K h b h b h b h 1 1 2 2 3 3 1 h 2 h 3 h
倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系: 1.两个点阵的基矢之间满足正交关系: b·a1=2n6 I=J 0.i≠ 两个点阵的格矢之积是2x的整数倍:Rn·R1=2mn RnR=(1b1+h2b2+h2b)(4a1+12+12a) =2m(l1h1+l2h2+l3h3)=2mn 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: (b2×b3) (2丌)
二. 倒点阵和晶体点阵之间的关系： 倒点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 1. 两个点阵的基矢之间满足正交关系： 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 2. 倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积： i j i j b a ij i i ij 0, 1, 2 2 3 1 2 3 * (2 ) ( ) b b b 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3 𝑙1𝑎 1 + 𝑙2𝑎 2 + 𝑙3𝑎 3 = 2𝜋 𝑙1ℎ1 + 𝑙2ℎ2 + 𝑙3ℎ3 = 2𝜋𝑛
3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵a、a、d,给出倒 点阵b1,b2,b3现假定b1,b2,b2为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 2丌 C2=b·(b2×b2) Q 利用三重矢积公式:Ax(BxC)=B(AC)-C(A·B) 可以得到:b2xb3 2丌 2兀(、×a2 (a2×a1)×—( 丌 a1(a3xa1a2)-a2(3×a1a1) Q g2∵.Q=b(b2×b)92=(2n)(a.·b)=(2r) 2(2x 1 同样可以证明:c2=a23=a3
3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵：由正点阵 给出倒 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒点阵根据定义为： 321 ,, aaa 321 ,, bbb 321 ,, bbb )( 2 1 * 32 bbc )( )( 321 321 * aaa bbb 利用三重矢积公式： BACCABCBA )()()( 可以得到： 11 2 1 * 22 c aa 3 11 2 321 * bbb ba )2()()2()( 1 2 11322131 2 32 13 21 2 )()( 2 )( 2 )( 2 aaaaaaaa a aaaabb 同样可以证明： 3322 , acac 2
4.布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢b,b2,b2围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区( Brillouin zone) 孩人社
4. 布里渊区 在固体物理中，很少使用由倒点阵基矢 围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞，而总是采用倒点阵的W-S初基元胞，因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 321 ,, bbb 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区 (Brillouin zone)
5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作,即当R为一正格矢时,gR1也为正格 矢,同样g-1R1也是正格矢。 由于Rn·R1=2mn h·g-Rt=2mn 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即: gkh·ggRt=gkh:Rt=2mn 这样,对群中任一操作g,gRn和g-1应也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的wS原胞(第1布里渊区)也具有晶 孩骆点群的全部对称性
5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作，即当𝑅𝑙为一正格矢时，𝑔𝑅𝑙也为正格 矢，同样𝑔 −1𝑅𝑙也是正格矢。 由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢量 受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即： 由于 这样，对群中任一操作𝑔 ， 𝑔𝐾ℎ和𝑔 −1𝐾ℎ 也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞，具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第1布里渊区）也具有晶 格点群的全部对称性。 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑔 −1𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑔𝑔 −1𝑅𝑙 = 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛