14.1两端固定弦的自由振动 第10页 就两端固定的弦来说,固有频率中有一个最小值,即 称为基频,其他固有频率n都是基频u1的整数倍 n=2.3 称为倍频 ★弦的基频就决定了所发声音的音调.在弦乐器中,当弦的质料一定(即p一定)时,通过改 变弦的绷紧程度(即改变张力T的大小),就可以调节基频ω的大小 ★解式中基频和倍频的叠加系数{Cn}和{Dn}的相对大小决定了声音的频谱分布,即决定了 声音的音色 和数 与弦的总能量成正比,所以就决定了声音的强度 ★分离变量法的解和行波解的联系 将初始条件p(a)和p(x)作奇延拓 ≤x≤0, φ(x) 业(x) v(x), 0≤x≤l, 然后再延拓为周期为2的周期函数(仍记为φ(x)和ψ(x).这样延拓的结果保证了在端点x=l也 是奇延拓.将更(x)和业(x)展开为 Fourier级数 / y(a)sin cd r)sin adr. 与前面定出的Cn和Dn相比较,就可以看出
14.1 üà½ugdÄ 1 10 Òüà½u5`§kªÇ¥k§= ω1 = π l a, ¡Äª§Ù¦kªÇωnѴĪω1ê§ ωn = nω1, n = 2, 3, · · · , ¡ª© F uĪÒû½ ¤u(ÑÑN©3uW쥧u½(=ρ½)§ÏLU Cu ;§Ý(=UCÜåT)§Ò±N!Īω1© F )ª¥ÄªÚªU\Xê{Cn}Ú{Dn}éû½ (Ѫ̩٧=û½ (ÑÑÚ© F Úê X∞ n=1 n 2 £ |Cn| 2 + |Dn| 2 ¤ uoUþ¤'§¤±Òû½ (ÑrÝ© F ©lCþ{)Ú1Å)éX òЩ^φ(x)Úψ(x)Ûòÿ Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, Ψ(x) = −ψ(−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, ,2òÿ±Ï2l±Ï¼ê(EPΦ(x)ÚΨ(x))©ùòÿ(Jy 3à:x = l ´Ûòÿ©òΦ(x)ÚΨ(x)ÐmFourier?ê Φ(x) = X∞ n=1 αn sin nπ l x, Ψ(x) = X∞ n=1 βn sin nπ l x, Ù¥ αn = 1 l Z l −l Φ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx, βn = 1 l Z l −l Ψ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. c¡½ÑCnÚDn'§Ò±wÑ αn = Dn, βn = nπa l Cn.
14.1两端固定弦的自由振动 第11页 所以 at+ Dn cos Dn (a -at)+sin(r+at) 1 2吨x-at)+x+a)+ 业(x)dx 和行波解的形式完全一致,只不过这里的更(x)和(x)是由初始条件(x)和v(x)按照前面的法则 延拓而得的 这样得到的解式u(x,t),当然只适用于区间0≤x≤中
14.1 üà½ugdÄ 1 11 ¤± u(x, t) = X∞ n=1 ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x = 1 2 X∞ n=1 Dn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 Cn h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 X∞ n=1 αn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 βn nπa h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 [Φ(x − at) + Φ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(x)dx. Ú1Å)/ª §ØLùpΦ(x)ÚΨ(x)´dЩ^φ(x)Úψ(x)Uìc¡{K òÿ © ù)ªu(x, t)§,·^u«m0 ≤ x ≤ l¥©