FO (2-25) 即可化为标准形式 标准正态分布的概率密度函数如图2-5所示。书末附表2列出了(x)的函数值表,可供 查用 图2-5正态分布概率密度 图2-6双侧100百分位点 为便于以后应用,对标准正态分布,引入“上10a百分点位”和“双侧100a百分位点”的定 义 设X~N(0,1)片z.满足 P{X>x}=a,0<a<1 则称点x为标准正态分布的上100a百分位点(图2-5);若x满足 PIXI>%l)=a (2-27) 则称xma为标准正态分布的双侧100a百分位点,见图2-6。 定理一设X1,X2,…,X.是相互独立的随机变量,若X4~N(A,)(k=1.2,…,n),则 它们的和Y=X1+x2+…+X,仍然具有正态分布,且有 Y~N(+p2+…+A,2++…+2) (2-28) 由此还可得出如下两个重要推论: 推论一设X~N(,),(x1,x2…,x)是它的一个样本则X=4∑x也服从正态 分布,并且它的数学期望和方差分别为 即: 推论二设总体X~N(4,,总体Y~N(,),且两个总体相互独立,则样本均值差 (x-Y)也服从正态分布 (X-y)~N( 式中n,和n分别为总体X和Y的样本的样本容量。 14
2.4.2x2分布 设X~N(0,1),(X3,X2,…,X)为X的一个样本,它们的平方和记作￥2,即 x2=X2+X+…+X 2-31) 则称ⅹ2为服从自由度为n的x2分布,记为x2~x2(n)。 x2分布的概率密度函数为 f(y) (2-32) 其图形如图2-7所示。 对于给定的正数a,0<a<1,称满足条件 f(y)dy (2-33) 的点x(n)为x2(n)分布的上100a百分位点,如图2-8所示。对于不同的a及n,上100a百分 位点x2(n)的值列于书末附表3 f(y) 0123436783而b 图2-7x2分布概率密度 图2-8上100a百分位点 定理二设X~N(P,a),(X1,x2…,x)是来自总体X的一个样本,X=1∑x与S2 1S(X.-X)2分别为样本平均值和样本方差则522(,-)2服从自由度 为n-1的X2分布,记作 x2(n-1) (2-34) 而且X与S2相互独立。 2.4.3t分布 设X~N(0,1),Y~x(n),并且X与Y相互独立则随机变量 √Y 服从育由度为n的t分布,记作t~t(n)。 t分布的概率密度函数为
To f(r) (l+) ∞<t<∞ (2-36) f(t)的图形如图29所示,它关于t=0是对称的,并且类似于正态分布概率密度的图形。当n x时,t分布渐近于此态分布 fim /() 图?9t分布概密度 图2-10h.1a百分位点 分布的}:100a目分位点是指满足 f()It (2-37) 田点!n).式中f(t)为t分布的概率密度函数,见图210;若数nz(n)满是 小也称()为双側100a百分位点 !们的上:10a订分位点叮由附長1育得,但“in>45时,如无计细表格可在,可用正态 分在(1)近似, n(n)≈x。n> 定理三设(N12,…A)为态总体N(pσ2)的·个样本,则 (2-39) S/√ 证町:因为 所以
并工P与”1s相互独立,从而 X-A X ~!(n1) S/√ 定理四设(X1,X2,…,Kn)利(Y1,Y2,…,Yn2)分别是从总体N(p1,2)和N(P2,a2)中抽 取的样本,它们相互独立,则 (XY)-(H-H2)t(n-n2-2) 240) 式中 n1…1)S+(n2-1)S2 1+n2-2 S和S2分别是这两个样本的方差 证明:已知 (X-Y)~N(p12,+) U=(x-y)(/-k2A(0.1) 又国为 1) 并且它们相可独京,出x2分布的可加性知 5+21 从而 X-Y)(1-p2) 2) 2) 2.4.↓F分布 ~x(m).~x2(n2),并且U和相可独立,则随仉变量
服从自由度为(n1,n2)的F分布,记作F~F(m1,n2) F分布的概率密度函数为 (n+m)2.(2)(2y):,(+y-y>0 f(y) (2-42) 0 <0 其图形如图2-11所示。 图2-11F分布概率密度 F分布的上100百分位点F(n1,n2)是指满足 f(y)dy 0<a<1 2-43) 的点F(n1,n2),其中f(y)为F分布的概率密度函数如图2-11所示。F分布的上100a百分 位点可查附表5。 F,(m1+n2)具有以下性质 F;(n1,n2)=1/F(n2,n) (2-44) 定理五设(X1X2,…,X,)和(Y1,Y2…X1)分别是来自总体N(P1,o)和N(2,)的 样本,它们相互独立,S和S2分别是它们的样本方差则 Si/S2 g2/a2 且分布F不依赖于方差比a/n2 证明:由定理二知 aA x? 且x2(n1-1)与x(n2-1)相互独立。 根据F分布的定义得 /(n1-1) 18