3矢性函数的积分 。不定积分 。若在t的某个区间[a,b]上，'(t)=A(t),则称(t)为 A()在该区间上的一个原函数，而A(t)的全体原函数 称为A()在此区间上的不定积分。记为： ∫a0d 因为常矢量C的导数c'=0,故若B(t)为A(t)的一 个原函数，则A(t)的全体原函数为B(t)+c,其中C 为任意常矢。所以： 「A(t)adt=B(t)+c 16
3 矢性函数的积分 不定积分 若在t的某个区间[a，b]上， ，则称 为 在该区间上的一个原函数，而 的全体原函数 称为 在此区间上的不定积分。记为： 因为常矢量 的导数 ，故若 为 的一 个原函数，则 的全体原函数为 ，其中 为任意常矢。所以： B (t) A(t) = B(t) A(t) A(t) A(t) A(t)dt c 0 c = B(t) A(t) A(t) B t c ( ) + c A t dt = B t + c ( ) ( ) 16
3矢性函数的积分 。性质 1°∫[k4]d=K∫A)d :(k—常数) 2°j[A()±Bd=∫a)dh±(u)dt 3°∫u(t)adi=aut)d(a—常矢量) 4°∫a.A(t)dt=a∫A)dt 5°∫axA(t)dt=ax∫A)at 17
3 矢性函数的积分 性质 1° （k ——常数） 2° 3° （ ——常矢量） 4° 5° [kA(t)]dt = k A(t)dt [A(t) B(t)]dt = A(t)dt B(t)dt u(t)adt = a u(t)dt a A(t)dt = a A(t)dt a A(t)dt = a A(t)dt a 17
3矢性函数的积分 6°换元积分法：设A()具有原函数B(W,u=p(t)可导， 则B[p(t】为A[u(t)]u(t)的原函数，即： ∫A[o(t]o'()dt=B[p(】+c 7°分部积分法： ∫A()）×B'()）dM=A()×B()-∫A()×B()M 18
3 矢性函数的积分 6°换元积分法：设 具有原函数 ， 可导， 则 为 的原函数，即： 7°分部积分法： A(u) B(u) u = (t) B[(t)] A[u(t)]u(t) A t t dt = B t + c [( )] ( ) [( )] A(t) B(t)dt = A(t) B(t) − A(t) B(t)dt 18
3矢性函数的积分 若A=A()R+A,(t))+A()2,则根据2°，3°有 ∫A()di=∫A,)dt+A,)dt+A)dh 这样，求一个矢性函数的不定积分，就转化为求三个 数性函数的不定积分。 19
3 矢性函数的积分 若 ，则根据2° ，3°有 这样，求一个矢性函数的不定积分，就转化为求三个 数性函数的不定积分。 A A t x A t y A t z x y z = ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( )ˆ A t dt = x A t dt + y A t dt + z A t dt x y z ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) 19
3失性函数的积分 例计算∫2p(o2+1)dg 解： (o2+1)=cos(o2+1)e+sin(p2+1)少 换元，令1=02+1，则： [2pe(+Ddo=[u()elu(o)]dp =「e(0)d=-g)+c=-g(p2+)+c =-sin(2+1)+cos(2+1)+c 20
3 矢性函数的积分 20