2矢性函数的导数与微分 。性质 设A=A(t),B=B(t)和u=u(t)可导，则有： 1° =0(c- 常矢量) dt A,dB 2° d(a±B)= dt 3° )=k (k- 常数) dt du dA dt LA+u dt dt 11
2 矢性函数的导数与微分 性质 设 ， 和 可导，则有： 1° （ ——常矢量） 2° 3° （k ——常数） 4° A A(t) = B B(t) = u = u(t) 0 c = dt d c dt dB dt dA A B dt d ( ) = dt dA kA k dt d ( ) = dt dA A u dt du uA dt d ( ) = + 11
2矢性函数的导数与微分 6°品u出+ dt x刷=会+秋 6° dB 7°复合函数的导数 设A=A(w),u=u(t),则： dAdA du dt du dt 12
2 矢性函数的导数与微分 5° 6° 7°复合函数的导数 设 ， ，则： dt dB B A dt dA A B dt d ( ) = + dt dB B A dt dA A B dt d ( ) = + A A(u) = u = u(t) dt du du dA dt dA = 12
2失性函数的导数与微分 例证明矢性函数40的模为常数的充要条件是a.d4=0。 dt 证：必要性： 若 4=常数，则 aA=4=常数 两边对t求导并利用运算法则5°，即可得到 A. dA =0 dt 充分性： 若4： dA =0, 则有 dt 品品a动2a 2=0 13 因而 =常数 也就是 A=常数
2 矢性函数的导数与微分 13
2矢性函数的导数与微分 例已知A(t)与一非零常矢量B满足A(t)·B=t,又知A'(t) 与B之间的夹角B为常数，试证明A'(t)⊥A”(t) 证： A(0)·B=t两边对t求导得： A'(t)·B=1 即 ()cos0=1 :6为常数，回为常数， 0)为常数，由上一例题的结论得： (0⊥A"(t) 14
2 矢性函数的导数与微分 例 已知 与一非零常矢量 满足 ，又知 与 之间的夹角 为常数，试证明 A(t) B A t B = t ( ) A(t) B A(t) ⊥ A(t) 14
2矢性函数的导数与微分 。矢性函数的微分 ·A(t)在t处的微分定义为：dA=A(t)dt 显然dA是一个矢量，且也在A(t)的矢端曲线l在t处 的切线方向上，但不恒指向增大的一方，当△t>0 时，与()方向一致(t增大一方)；而当△t<0时， 与A()相反(t减小一方) ·由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来： dA=4(t)dt =[A.(t)+A,(t)+A(t)]dt =A.(t)dt A,(t)dt A.(t)dt =dA,+dA+dA. 15
2 矢性函数的导数与微分 矢性函数的微分 在t处的微分定义为： 显然 是一个矢量，且也在 的矢端曲线l在t处 的切线方向上，但不恒指向t增大的一方，当 时，与 方向一致（t增大一方）；而当 时， 与 相反（t减小一方）。 由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来： A(t) dA = A(t)dt dA A(t) t 0 A(t) t 0 A(t) dA A t dt A t x A t y A t z dt x y z = ( ) = [ ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( ) ˆ] A t dt x A t dt y A t dt z x y z = ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( ) ˆ dA x dA y dA z x y z = ˆ + ˆ + ˆ 15