→C1=C2(左、右极限存在且相等) →F(x)=C→F"(0)=0 而已知F(0)=f(0)=1矛盾 这说明∫(x)没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然 要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们 给出如下的结论: 原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间内连续, 那么在区间Ⅰ内存在可导函数F(x), 使x∈I,都有F(x)=f(x)
C1 = C2 （左、右极限存在且相等） F(x) = C F(0) = 0 而已知 F(0) = f (0) = 1 矛盾 这说明 f (x) 没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x)
简言之:连续函数一定有原函数 (证明待下章给出) (2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有 什么联系? ①若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数 ②若F(x)和G(x都是f(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) iIE. [F(x)G(x)]=F(x)-G'(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(O为任意常数)
简言之：连续函数一定有原函数. （证明待下章给出） （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？ ①若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. ②若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C为任意常数）
不定积分的定义: 在区间I内,函数∫(x)的带有任意 常数项的原函数称为∫(x)在区间/内的 不定积分,记为∫f(x)k ∫(x)kx=F(x)+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数 式 量 为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内， f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx. 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可
例1求∫x3 解 / x x dx +C, 6 6 例2求∫ 2 1+x 解( arctan)= 1+x 1+x 2dx=arctan+c
例1 求 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x = . 6 6 5 C x x dx = + 解 例2 求 . 1 1 2 + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = arctan . 1 1 2 = + + dx x C x
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知=2x, d x 即∫(x)是2x的一个原函数 2xdx=x+C.. f(x)=x+c, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 xdx = x + C ( ) , 2 f x = x + C 由曲线通过点（1，2） C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +