y P点合成位移为, (-∞y)2+(a r为P点到原点的距离,可见代表物体绕z轴的刚体转动。 3.1.5物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到 1)平面应力问题的物理方程 (3-3) 2(1+p) E 平面应力问题有, 2)平面应变问题的物理方程 E E 2(1+p) E 平面应变问题有, 0
P 点合成位移为， u + v = −y + x = x + y =r 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) r 为 P 点到原点的距离，可见ω代表物体绕 z 轴的刚体转动。 3.1.5 物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。 1）平面应力问题的物理方程 ( ) x x y E = − 1 ( ) y y x E = − 1 （3-3） xy xy E 2(1+ ) = 平面应力问题有， z = 0 ( ) z x y E = − + 2）平面应变问题的物理方程 − − − x = x y E 1 1 2 − − − y = y x E 1 1 2 （3-4） xy xy E 2(1+ ) = 平面应变问题有， z = 0 ( ) z = x + y
在平面应力问题的物理方程中,将E替换为一E 2H替换为,可以得到平面 应变问题的物理方程:在平面应变问题的物理方程中,将E替换为 E(1+2) (1+)2~替换为 以,可以得到平面应力问题的物理方程 图3.5 求解弹性力学平面问题,可以归结为在任意形状的平面区域Ω内已知控制方程、在位 移边界Sn上约束已知、在应力边界S。上受力条件已知的边值问题。然后以应力分量为基本 未知量求解,或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解,求出位移后,由几何方程可以计算出应变分量,得到物体 的变形情况:再由物理方程计算出应力分量,得到物体的内力分布,就完成了对弹性力学平 面问题的分析
在平面应力问题的物理方程中，将 E 替换为 2 1− E 、 替换为 1− ，可以得到平面 应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将 E 替换为 2 (1 ) (1 2 ) + E + 、 替换为 1+ ，可以得到平面应力问题的物理方程。 图 3.5 求解弹性力学平面问题，可以归结为在任意形状的平面区域 内已知控制方程、在位 移边界 u S 上约束已知、在应力边界 S 上受力条件已知的边值问题。然后以应力分量为基本 未知量求解，或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解，求出位移后，由几何方程可以计算出应变分量，得到物体 的变形情况；再由物理方程计算出应力分量，得到物体的内力分布，就完成了对弹性力学平 面问题的分析
3.2单元位移函数 根据有限元法的基本思路,将弹性体离散成有限个单元体的组合,以结点的位移作为未 知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内 的位移变化可以假定一个函数来表示,这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式 对于弹性力学平面问题,单元位移函数可以用多项式表示, u=a1+a2x+a3y+aar t asxy+a6y+ v=b,+b,x+bay+bx+bxy+by+ (3-5) 多项式中包含的项数越多,就越接近实际的位移分布,越精确。具体取多项,由单元形 式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数 (x,,y,)Au M 图3.6 如图36所示的3结点三角形单元,结点1、J、M的坐标分别为(x,y)、(x1y)、 (xm,ym),结点位移分别为l4、V1、、V、lm、Vm。六个节点位移只能确定六个多 项式的系数,所以3结点三角形单元的位移函数如下, (3-6) V=a4 +asxta6y 将3个结点上的坐标和位移分量代入公式(3-6)就可以将六个待定系数用结点坐标和 位移分量表示出来 将水平位移分量和结点坐标代入(3-6)中的第一式, u =a1+a2x t a,y, a, tax ta3y 写成矩阵形式 xi yi x yi (3-7)
3.2 单元位移函数 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未 知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内 的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， ... 2 5 6 2 u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a x y + a y + ... 2 5 6 2 v = b1 + b2 x + b3 y + b4 x + b x y + b y + （3-5） 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项，由单元形 式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 图 3.6 如图 3.6 所示的 3 结点三角形单元，结点 I、J、M 的坐标分别为 ( , ) i i x y 、( , ) j j x y 、 ( , ) m m x y ，结点位移分别为 i u 、 i v 、 j u 、 j v 、 m u 、 vm 。六个节点位移只能确定六个多 项式的系数，所以 3 结点三角形单元的位移函数如下， = + + = + + a a x a y u a a x a y 4 5 6 1 2 3 v （3-6） 将 3 个结点上的坐标和位移分量代入公式（3-6）就可以将六个待定系数用结点坐标和 位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入（3-6）中的第一式， m m m j j j i i i u a a x a y u a a x a y u a a x a y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 写成矩阵形式， = 3 2 1 1 1 1 a a a x y x y x y u u u m m j j i i m j i （3-7）
x yi 1 则有 =2A,A为三角形单元的面积 的伴随矩阵为, xmVi-xiym ym"Vi x-x, iyi-xiyi yi-y b b b b b Ci c 则 b (3-11) C 同样,将垂直位移分量与结点坐标代入公式(3-6)中的第二式,可得, 将(3-11)、(3-12)代回(3-6)整理后可得, (a1+bx+c1y)1+(a1+b y)u [(a, +b,x+C; y)v,+(a+b,x+c y)v, 令N (a1+bx+cy)(下标 轮换)
令 T 1 1 1 = m m j j i i x y x y x y ， 则有 = − m j i u u u a a a 1 3 2 1 T （3-8） T [T] [T] * 1 = − T = 2A ，A 为三角形单元的面积。 [T]的伴随矩阵为， T * T − − − − − − − − − = i j j i i j j i m i i m m i i m j m m j j m m j x y x y y y x x x y x y y y x x x y x y y y x x （3-9） 令 = = i j m i j m i j m m m m j j j i i i c c c b b b a a a a b c a b c a b c T * [T] （3-10） 则 = m j i i j m i j m i j m u u u c c c b b b a a a A a a a 2 1 3 2 1 （3-11） 同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（3-6）中的第二式，可得， = m j i i j m i j m i j m v v v c c c b b b a a a A a a a 2 1 6 5 4 （3-12） 将（3-11）、（3-12）代回（3-6）整理后可得， [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m um a b x c y u a b x c y u a b x c y A u = + + + + + + + + [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m m a b x c y v a b x c y v a b x c y v A v = + + + + + + + + 令 ( ) 2 1 a b x c y A Ni = i + i + i （下标 i，j，m 轮换）
. N 0 可得 18 0N.0N.0N (3-13) 单元内的位移记为{}= 单元的结点位移记为={6=/c 单元内的位移函数可以简写成 U}=[N]} (3-14) 把[N称为形态矩阵,N称为形态函数 选择单元位移函数应满足以下条件: 1)反映单元的刚体位移与常量应变 2)相邻单元在公共边界上的位移连续,即单元之间不能重叠,也不能脱离 由(3-6)可以将单元位移表示成以下的形式, as+ u=a +ax v=a4+asy+ 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数,因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全 确定。两个单元的边界共用两个结点,所以边界上的位移连续 形态函数N具有以下性质: 1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2)在单元中的任意一点上,三个形态函数之和等于1。 用[来计算三角形面积时,要注意单元结点的排列顺序,当三个结点i,j,m取逆时
可得 = m m j j i i i j m i j m v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 （3-13） 单元内的位移记为 = v u f 单元的结点位移记为 = = m m j j i i m j i e v u v u v u 单元内的位移函数可以简写成， e f = N （3-14） 把[N]称为形态矩阵，Ni 称为形态函数。 选择单元位移函数应满足以下条件： 1）反映单元的刚体位移与常量应变。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。 由（3-6）可以将单元位移表示成以下的形式， y a a y a a u a a x 2 2 5 3 5 3 1 2 + + − = + − x a a x a a v a a y 2 2 5 3 5 3 4 6 + + − = + + 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全 确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。 形态函数 Ni 具有以下性质： 1）在单元结点上形态函数的值为 1 或为 0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于 1。 用 T 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点 i，j，m 取逆时