第一章矢量与张量 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算,作为后面章节的数学准备。 §1向量代数 1.1向量的定义 从几何观点来看,向量定义为有向线段。在三维欧氏空间E3中,建立直角坐标系 O;x1,x2,x3},沿坐标x方向的单位向量为e=12,3),即其标架为(1e2e3)。 设从坐标原点O至点A的向量为a,它在所述坐标系中的坐标为(a1a2a3),那么a 可写成 (1.1) 设在B中有另一个坐标系;,其标架为(e;e,e},它与(e,e,g 之间的关系为 e =Ce, Ce +c e2=C21+C22+C2 (1.2) e=c31+c32+C33 由于单位向量e=123)之间互相正交,e1=12)之间也互相正交,因此矩阵 11 22 将是正交矩阵,即有C-=Cr,其中上标?表示转置。从(1.2)可反解出 1.4) e3=Cei+C23e2+ C33e3
第一章 矢量与张量 本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。 §1 向量代数 1.1 向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。 设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成 (1.1) 设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为 （1.2） 由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵 (1.3) 将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4）
向量a在新坐标系(O;x1x2x3)中的分解记为 < t a2e2 t a3e: 将(1.4)代入(1.1),得到 a1=C11+C12a2+C1g3 公式(16)是向量a的新坐标a(=12,3)和旧坐标a3=123)之间的关系它是坐标 变换系数C(j=123)的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质(如 长度、角度)不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说,公式(1.6)表 示了向量在坐标变换下的不变性 这样,我们就从向量的几何定义,得到了向量的代数定义:一个有序数组 (a1a2a3),如果在坐标变换下为关于变换系数C(j=123)由(.6)所示的次 齐次式,则称之为向量 1.2 Einstein约定求和 用求和号,可将(1.1)写成 ; 所谓 Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号,例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和,而不管指标是什么字母,例如(1.8)也可写成 a-4ieiasaxek (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明,相同的英文指标总表示 从1至3求和。 按约定求和规则,(1.2)、(1.4)可写成 13
向量 在新坐标系 中的分解记为 (1.5) 将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6) 公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标 变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如： 长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表 示了向量在坐标变换下的不变性。 这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次 齐次式，则称之为向量。 1.2 Einstein 约定求和 用求和号，可将(1.1)写成 (1.7) 所谓 Einstein 约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 (1.8) 在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9) 有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示 从 1 至 3 求和。 按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10)
e;=Ce; (1.11) 将(1.11)代入(1.8),得 (1.12) 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法, =1,2,3 (1.13) 今引入 Kronecker记号 (=12,3) 例如1=1,2=0。应用y,单位向量之间的内积可写成 e';=2; (1.15) 向量a=a11和向量b=b,之间的内积可写成 ab=4; e:be = a, b e2e,=ab,i-ab (1.16) 上式中最后一个等号是因为只有=时,y才不等于零,在这里的作用似乎是 将j换成了,因而也称;为“换标记号” 再引入 Levi-civita记号
(1.11) 将(1.11)代入(1.8)，得 (1.12) 由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， (1.13) 今引入 Kronecker 记号 ， (1.14) 例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成 (1.15) 向量 和向量 之间的内积可写成 (1.16) 上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是 将 换成了 ，因而也称 为“换标记号”。 再引入 Levi-Civita 记号
1,当,k为偶排列 38=-1,当;,k为奇排列 0,当,,中有相同者 其中,,k分别取1,2,3中的某一个值。例如123=21=212=1, 512=21=E213=-1,h12=33=0,…。利用气,向量之间的外积可写为 e2×=与 (1.18) a×b=ap1×b;=apb=;k (1.19) 1.36;与/之间的关系 Kronecker记号与 Levi-civita记号品之间有如下关系 E,,F,ks=Rdjs-disdjK (1.20) 证明1穷举法,先列出k,。所有可能的81种取值情况, 情形 2 然后逐个情形证明,例如,情形1,δ3,故此情形(1.20)成立, 证明2我们有双重外积公式 (1.21) 将23代入(1.21)左右两边,得到 将上述两式代入(1.21)两边,移项,得 (1.22) 由于,的任意性,从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明3利用 Lagrange公式 按证明2类似的步骤,从(1.23)可导出(1.20)
(1.17) 其中 分别取 1，2，3 中的某一个值。例如 ， ， ，…。利用 ，向量之间的外积可写为 (1.18) (1.19) 1.3 与 之间的关系 Kronecker 记号 与 Levi-Civita 记号 之间有如下关系 (1.20) 证明 1 穷举法，先列出 所有可能的 81 种取值情况， 情形 1 2 3 ┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 ┆ ┆ ┆ ┆ 然后逐个情形证明,例如，情形 1， ，故此情形(1.20)成立，…。 证明 2 我们有双重外积公式 (1.21) 将 代入(1.21)左右两边，得到 将上述两式代入(1.21)两边，移项，得 (1.22) 由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。 证明 3 利用 Lagrange 公式 (1.23) 按证明 2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)
证明4从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示,有 (1.24) 其中,分别为向量62在6,中的坐标。按行列式的乘积法则,有 其中第二个等式应用了δ2等关系。将(1.25)最后一个行列式展开,得 注意到n,,以及换标记号S2和2的意义,从(1.26)即得(1.20)。证毕 §2张量代数 2.1张量的定义 设 A=4e; 其中ee;称为并矢基,它们共有9个, e1e11261 e2e e2e2 e2e e3 1 2263 e3e3 在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为 A= A, kCs eke,-Akseke 于是 A 从(2.4)可引出张量的定义:一个二阶有序数组4,=123),在坐标变换下, 关于变换系数C为二次齐次式,则称A,为张量,也记作A。冯y为其指标记号, A为其整体记号 张量A在并矢基ee下的9个分量,有一个矩阵A与之对应,记作
证明 4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有 (1.24) 其中 分别为向量 在 中的坐标。按行列式的乘积法则，有 (1.25) 其中第二个等式应用了 等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得 (1.26) 注意到 ，以及换标记号 和 的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。 §2 张量代数 2.1 张量的定义 设 (2.1) 其中 称为并矢基,它们共有 9 个, (2.2) 在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为 (2.3) 于是 (2.4) 从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组 ，在坐标变换下， 关于变换系数 为二次齐次式，则称 为张量，也记作 。 为其指标记号， 为其整体记号。 张量 在并矢基 下的 9 个分量，有一个矩阵 与之对应，记作