lim,ZF(5,)Ax, = JJ f(x, y)do.(3)ITII→0i=1D由于当I T→0 时,必有max△x,→0,因此由定积l≤iSr分定义,(3)式左边lim, Z F(5,)Ax, = f' F(x)dx = f'dxf" f(x, y)dy.ITII-→>0 i=1定理21.9 设 f(x,y)在矩形区域 D =[a,b]×[c,d]上可积,且对每个ye[c,d],积分J’f(x,y)dx 存在,则累次积分后页返回前页
前页 后页 返回 || || 0 1 lim ( ) ( , )d . r i i T i D F x f x y → = = (3) || || 0 T → 1 max 0, i i r x 由于当 时, 必有 → 因此由定积 分定义, (3)式左边 || || 0 1 lim ( ) ( )d d ( , )d . r b b d i i T a a c i F x F x x x f x y y → = = = 定理21. 9 设 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d = [ , ] [ , ] y c d [ , ], ( , )d b a f x y x 上可积 , 且对每个 积分 存在, 则累次积分
[" dyf' f(x, y)dx= J"(f' f(x, y)dy) dx也存在,且J f(x, y)do = f' dyf' f(x, y)dx.D定理21.9的证明与定理21.8相仿特别当 f(x,y)在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上连续时,则有[[ f(x, y)do = f' dx" f(x, y)dy = f" dy]' f(x, y)dx.D后页返回前页
前页 后页 返回 也存在, 且 ( , )d d ( , )d . d b c a D f x y y f x y x = 定理21. 9的证明与定理21. 8相仿. 特别当 f x y ( , ) 在矩形区域 D a b c d = [ , ] [ , ] 上连续 时, 则有 d c ( , )d d ( , )d d ( , )d . b d b a c a D f x y x f x y y y f x y x = = ( ) d ( , )d ( , )d d d b d b c a c a y f x y x f x y y x =
[[(x+ y)"do, 其中 D =[0, 1]×[0, 1].例1 计算D解应用定理21.8(或定理21.9),有J f(x, y)do = f, dxf,(x + y) dyDx37(x +1)31dx =336后页返回前页
前页 后页 返回 2 ( ) d , D x y + 例1 计算 其中 D = [0, 1] [0, 1]. 解 应用定理21. 8(或定理21. 9), 有 1 1 2 0 0 ( , )d d ( ) d D f x y x x y y = + 3 3 1 0 ( 1) 7 d . 3 3 6 x x x + = − =
二、在x型或V型区域上二重积分的计算对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算。称平面点集(4)D=((x, y) i(x)≤y≤y(x),a≤x≤b)为x型区域(图21-5(a);称平面点集(5)D=((x,y)/x(y)≤x≤x,(y),c≤y≤d)为y型区域(图21-5(b)后页返回前页
前页 后页 返回 对于一般区域, 通常可以分解为如下两类区域来进 行计算. 称平面点集 1 2 D x y y x y y x a x b = {( , ) | ( ) ( ), } (4) 为x型区域(图21-5(a)); 称平面点集 1 2 D x y x y x x y c y d = {( , ) | ( ) ( ), } (5) 为y型区域(图21-5(b)). 二、在 x 型或 y 型区域上 二重积分的计算