内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 单个颗粒在无限连续的流体中沉降，或颗粒群在流体中分散得较 好，沉降时颗粒之间互不接触，互不碰撞，互不干扰，这种沉降称为 自由沉降(free settling)。 当一个球形颗粒放在静止流体中时，若其密度ρp 大于流体的密 度ρ时，它就向下沉降。 设该颗粒的直径为 d，质量为 m，初速度为零。在流体中下沉的 t 瞬时，它的速度为 u，所受的作用力有：重力 Fg，浮力 Fb 和流体的 阻力 Fd。其受力情况如图 4—3 所示。根据牛顿第二定律，颗粒的沉 降运动方程式为： Fd Fb mg 图 4—3 颗粒沉降受力图 F g Fb Fd d du m = − − τ （4—6a） 式中， F d g g ρ P π 3 6 = , （4—6b） F d g b ρ π 3 6 = , （4—6c） 6
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 单个颗粒在无限连续的流体中沉降，或颗粒群在流体中分散得较 好，沉降时颗粒之间互不接触，互不碰撞，互不干扰，这种沉降称为 自由沉降(free settling)。 当一个球形颗粒放在静止流体中时，若其密度ρp 大于流体的密 度ρ时，它就向下沉降。 设该颗粒的直径为 d，质量为 m，初速度为零。在流体中下沉的 t 瞬时，它的速度为 u，所受的作用力有：重力 Fg，浮力 Fb 和流体的 阻力 Fd。其受力情况如图 4—3 所示。根据牛顿第二定律，颗粒的沉 降运动方程式为： Fd Fb mg 图 4—3 颗粒沉降受力图 F g Fb Fd d du m = − − τ （4—6a） 式中， F d g g ρ P π 3 6 = , （4—6b） F d g b ρ π 3 6 = , （4—6c） 6
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 4 2 2 2 d u Fd π ρ = ξ ⋅ ⋅ 。 （4—6d） 将这些关系代入式沉降运动方程式为中，整理得： 2 4 3 u d g F F F d du m p p p g b d ρ ξρ ρ ρ ρ τ − − = = − − （4—6e） 由此式可知，右边第一项与 u 无关，第二项随 u 的增大而增大。 因此，随着颗粒向下沉降的速度 u 的逐渐增大，其加速度 dudt 则逐 渐减小。当 u 增加到某一数值 u0时，可使 du/dt=0。于是颗粒开始作 匀速沉降运动。可见颗粒的沉降过程分为两个阶段。起初为加速阶段， 而后为匀速阶段。对于小颗粒，加速阶段非常短，可以忽略不计，当 作只有均速阶段。在匀速阶段中颗粒相对于流体的运动速度 u0，称为 颗粒的沉降速度或终端速度(terminal velocity)。 当 du/dt=0 时，令 u=u0，由式(4—6)可得出球形颗粒自由沉降 速度的一般计算式： ( ) ξρ ρ ρ µ 3 4 0 d g u p − = （4-6） 将式(4—3)，(4—4)和(4—5)的关系分别代入上式，可得到在 三个不同流型区域内球形颗粒自由沉降时沉降速度 u0 的计算公式： (1) 层流区的 Stockes 公式 7
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 4 2 2 2 d u Fd π ρ = ξ ⋅ ⋅ 。 （4—6d） 将这些关系代入式沉降运动方程式为中，整理得： 2 4 3 u d g F F F d du m p p p g b d ρ ξρ ρ ρ ρ τ − − = = − − （4—6e） 由此式可知，右边第一项与 u 无关，第二项随 u 的增大而增大。 因此，随着颗粒向下沉降的速度 u 的逐渐增大，其加速度 dudt 则逐 渐减小。当 u 增加到某一数值 u0时，可使 du/dt=0。于是颗粒开始作 匀速沉降运动。可见颗粒的沉降过程分为两个阶段。起初为加速阶段， 而后为匀速阶段。对于小颗粒，加速阶段非常短，可以忽略不计，当 作只有均速阶段。在匀速阶段中颗粒相对于流体的运动速度 u0，称为 颗粒的沉降速度或终端速度(terminal velocity)。 当 du/dt=0 时，令 u=u0，由式(4—6)可得出球形颗粒自由沉降 速度的一般计算式： ( ) ξρ ρ ρ µ 3 4 0 d g u p − = （4-6） 将式(4—3)，(4—4)和(4—5)的关系分别代入上式，可得到在 三个不同流型区域内球形颗粒自由沉降时沉降速度 u0 的计算公式： (1) 层流区的 Stockes 公式 7
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 ( ) µ ρ ρ 18 2 0 d p − g u = (4—7) (2) 过渡区的 Allen 公式 ( ) 7 5 0.4 0.4 1.6 0 0.154 − = ρ µ d ρ ρ g u p (4—8) (3) 湍流区的 Newton 公式 ( ) ρ g ρ ρ gd p − = 3 u0 (4—9) 2 沉降速度的求算 Calculation of settling velocity 上面虽然给出了计算颗粒沉降速度 u0 的式(4—7)或(4—8)至(4 —9)，但用这些公式计算时，须首先确定雷诺数 Rep的数值，这样才 能确定式(4—6)中的阻力系数ξ值；或者才能根据 Rep值所确定的流 型区域正确选用式(4—7)至(4—9)之中的某一计算式，而雷诺数 Rep 又正是要求算未知量 u0 的函数，故事先无法确定。可见计算沉降速 度 u0是较为复杂的。解算方法有如下几种： (1) 试差法（trial and error method） 先假定初值 u0，由 此算得 Rep 值，按图 4—2 查得ξ值，代入式(4—6)求得第一次试算 值 。比较u 值与假定值 u0。若二者非常接近或者二者之差的绝对 值能满足已定计算精度要求，则 即为最终计算值。若二者相差甚 远，需再次假定另一 u0 值，重复上述过程，直至假定值与计算值之 差的绝对值能满足已定精度要求为止。此法手算繁琐，但设计一个算 法程序，用计算机很容易求解。 u0 ′ 0 ′ u0 ′ (2) 复验法 (Repeat verification method)先假定一个流型 8
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 ( ) µ ρ ρ 18 2 0 d p − g u = (4—7) (2) 过渡区的 Allen 公式 ( ) 7 5 0.4 0.4 1.6 0 0.154 − = ρ µ d ρ ρ g u p (4—8) (3) 湍流区的 Newton 公式 ( ) ρ g ρ ρ gd p − = 3 u0 (4—9) 2 沉降速度的求算 Calculation of settling velocity 上面虽然给出了计算颗粒沉降速度 u0 的式(4—7)或(4—8)至(4 —9)，但用这些公式计算时，须首先确定雷诺数 Rep的数值，这样才 能确定式(4—6)中的阻力系数ξ值；或者才能根据 Rep值所确定的流 型区域正确选用式(4—7)至(4—9)之中的某一计算式，而雷诺数 Rep 又正是要求算未知量 u0 的函数，故事先无法确定。可见计算沉降速 度 u0是较为复杂的。解算方法有如下几种： (1) 试差法（trial and error method） 先假定初值 u0，由 此算得 Rep 值，按图 4—2 查得ξ值，代入式(4—6)求得第一次试算 值 。比较u 值与假定值 u0。若二者非常接近或者二者之差的绝对 值能满足已定计算精度要求，则 即为最终计算值。若二者相差甚 远，需再次假定另一 u0 值，重复上述过程，直至假定值与计算值之 差的绝对值能满足已定精度要求为止。此法手算繁琐，但设计一个算 法程序，用计算机很容易求解。 u0 ′ 0 ′ u0 ′ (2) 复验法 (Repeat verification method)先假定一个流型 8
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 区域，选用该区域对应的沉降速度 u0计算式，求得 u0值。由此 u0值 验算雷诺数 Rep，若验算所得 Rep值落在假定区域内，则说明区域假定 正确，计算的 u0 值即为所要求算的沉降速度的最终值。否则，再假 定另一流型区域，重复上述过程，直到验算所得的雷诺数 Rep落在该 假定区域内为止。用复验法最多三次就可得到正确结果。 (3) 直接法（Direct method） 用一个不包含待求量 u0 的无因 次数群 K 来等效地代替雷诺数 Rep作为流型区域判据的作用，可以避 免上述试算过程。 将式(4—8)改写为： ( ) 3 0 4 u d g P ρ ρ ρ ξ − = (4—10) 为消去式(4—10)中待求未知量 u0，将该式两边同乘以 2 2 = µ duρ R ep ， 可得另一无因次数群ξ ： 2 R ep ( ) 2 2 2 3 4 µ ρ ρ ρ ξ d g R p ep − = (4—11) 因为ξ是 Rep 的函数，所以ξ 也是 Rep 的函数。若令： 2 R ep ( ) 3 1 2 − = µ ρ ρ ρ g K d p (4—12) 则 2 3 3 4 ξR ep = K (4—13) 由于 K 与ξ 之间的关系只差一个常数因子，故 K 也是 Rep的函 数。式(4—12)所表示的不含待求量 u0的无因次数群 K 可作为判别流 2 R ep 9
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 区域，选用该区域对应的沉降速度 u0计算式，求得 u0值。由此 u0值 验算雷诺数 Rep，若验算所得 Rep值落在假定区域内，则说明区域假定 正确，计算的 u0 值即为所要求算的沉降速度的最终值。否则，再假 定另一流型区域，重复上述过程，直到验算所得的雷诺数 Rep落在该 假定区域内为止。用复验法最多三次就可得到正确结果。 (3) 直接法（Direct method） 用一个不包含待求量 u0 的无因 次数群 K 来等效地代替雷诺数 Rep作为流型区域判据的作用，可以避 免上述试算过程。 将式(4—8)改写为： ( ) 3 0 4 u d g P ρ ρ ρ ξ − = (4—10) 为消去式(4—10)中待求未知量 u0，将该式两边同乘以 2 2 = µ duρ R ep ， 可得另一无因次数群ξ ： 2 R ep ( ) 2 2 2 3 4 µ ρ ρ ρ ξ d g R p ep − = (4—11) 因为ξ是 Rep 的函数，所以ξ 也是 Rep 的函数。若令： 2 R ep ( ) 3 1 2 − = µ ρ ρ ρ g K d p (4—12) 则 2 3 3 4 ξR ep = K (4—13) 由于 K 与ξ 之间的关系只差一个常数因子，故 K 也是 Rep的函 数。式(4—12)所表示的不含待求量 u0的无因次数群 K 可作为判别流 2 R ep 9
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 型区域的新判据。 将式(4—7)所表示的 u0 表达式代入雷诺数表达式中得无因次数 群 K 与雷诺数 Rep之间的关系为： ( ) 18 18 3 2 3 d g K R p ep = − = µ ρ ρ ρ 或 3 18 K = R ep (4—14) 当 Rep=1 时，由上式得 K=2.62。此值为层流区(Stockes 区)的上 限值。同样，应用式(4—9)和 Rep=500 可算得湍流区(Newton 区)的下 限 K 值为 43.6。如此，用 K 值表示的流型区域界限为： K<2.62 时为层流区； 2.62<K<43.6 时为过渡区； K>43.6 时为湍流区。 计算沉降速度 u0时，先算出 K 值，由此可直接正确地确定流型 区域及其相应的 u0计算式，避免了繁琐的复验过程。 例 4—1 鲜牛乳中脂肪球的平均直径约为 5μm，20℃时，脂肪球 的密度为 1010kg/m3，脱脂乳的密度为 1035kg/m3 ，粘度为 2.12× 10-3Pa·s 试求脂肪球在脱脂乳中的沉降速度。 〔解〕：假定沉降在过渡区中进行，按该区的 Allen 公式得： 10
内蒙古农业大学食品科学与工程学院《食品工程原理》讲稿 CH4-§1 型区域的新判据。 将式(4—7)所表示的 u0 表达式代入雷诺数表达式中得无因次数 群 K 与雷诺数 Rep之间的关系为： ( ) 18 18 3 2 3 d g K R p ep = − = µ ρ ρ ρ 或 3 18 K = R ep (4—14) 当 Rep=1 时，由上式得 K=2.62。此值为层流区(Stockes 区)的上 限值。同样，应用式(4—9)和 Rep=500 可算得湍流区(Newton 区)的下 限 K 值为 43.6。如此，用 K 值表示的流型区域界限为： K<2.62 时为层流区； 2.62<K<43.6 时为过渡区； K>43.6 时为湍流区。 计算沉降速度 u0时，先算出 K 值，由此可直接正确地确定流型 区域及其相应的 u0计算式，避免了繁琐的复验过程。 例 4—1 鲜牛乳中脂肪球的平均直径约为 5μm，20℃时，脂肪球 的密度为 1010kg/m3，脱脂乳的密度为 1035kg/m3 ，粘度为 2.12× 10-3Pa·s 试求脂肪球在脱脂乳中的沉降速度。 〔解〕：假定沉降在过渡区中进行，按该区的 Allen 公式得： 10