法米判别其收敛性.注意到三+刚好是级数+片的部分和，若级数收 敛，则5，有界，从而可得所要证的结论 证明由于 %=0+0m=l23 故所给级数是正项级数。又由于 p=m6-mF+-+片-， 故由根值审敛法知所给级数收敛。由此可知该级数的部分和数列5，}有界，所以 =2+=0. 注在证明级数+片广收敛时，若用比值审敛法，则求p时较复杂。 例6(1)下列说法正确的是(). A.若∑4，收敛，则∑收敛。 B。若∑“收敛，则∑，收敛 C.若∑，收敛，则limm,=0。 D.若∑4.收敛且m么=1，则∑y不一定收敛 (2)(06研)若级数∑a.收敛，则级数(). A.∑la.收敛. B.∑(-1ra,收敛。 Ca,an收敛 D三2收做 解(D取=r方，则可知A,B及C错误。故选D.另外，如果取，=八方 =(-H少方+分则可知虽然级数立，收敛且有m兰=1，但级数立发散：若级数立 收敛且一警=1，当和，都是正项级数时，由比较审敛可知，也收敛，这从另 一方面说明了D是正确的. (2)因为级数∑a,收敛，故级数∑a也收敛，由收敛级数的性质可知D正确.另
法来判别其收敛性．注意到 2 1 1 1 (1 ) 3 n k k k = k + 刚好是级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 的部分和 n s ，若级数收 敛，则 n s 有界，从而可得所要证的结论． 证明 由于 1 1 2 (1 ) >0 ( 1,2,3, ) 3 n n n u n n = + = ， 故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 1 2 lim lim (1 ) lim (1 ) 1 3 3 3 n n n n n n n n n e u n n → → → = = + = + = ， 故由根值审敛法知所给级数收敛．由此可知该级数的部分和数列 { }n s 有界，所以 2 1 1 1 1 1 lim (1 ) lim 0 3 n k k n n n k s → → n k n = + = = ． 注 在证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 收敛时，若用比值审敛法，则求 时较复杂． 例 6 （1）下列说法正确的是（ ）． A．若 1 n n u = 收敛，则 1 n n u = 收敛． B．若 1 n n u = 收敛，则 2 1 n n u = 收敛． C．若 1 n n u = 收敛，则 lim 0 n n nu → = ． D．若 1 n n u = 收敛且 lim 1 n n n u → v = ，则 1 n n v = 不一定收敛． （2）（06 研）若级数 1 n n a = 收敛，则级数（ ）． A． 1 n n a = 收敛． B． 1 ( 1)n n n a = − 收敛． C． 1 1 n n n a a + = 收敛． D． 1 1 2 n n n a a + = + 收敛． 解 （1）取 1 ( 1)n n u n = − ，则可知 A，B 及 C 错误．故选 D．另外，如果取 1 ( 1)n n u n = − ， 1 1 ( 1)n n v n n = − + ，则可知虽然级数 1 n n u = 收敛且有 lim 1 n n n u → v = ，但级数 1 n n v = 发散；若级数 1 n n u = 收敛且 lim 1 n n n u → v = ，当 1 n n u = 和 1 n n v = 都是正项级数时，由比较审敛可知 1 n n v = 也收敛。这从另 一方面说明了 D 是正确的． （2）因为级数 1 n n a = 收敛，故级数 1 1 n n a + = 也收敛，由收敛级数的性质可知 D 正确．另
外如果取a=r石，则可知。B及C销误 例7判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 学 (2)2-r-: o8r w名 分析这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴.判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成：若不 是，再判别该级数本身是否收敛.若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成：若它不满足菜布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性。值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若>1，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散. 据，上宁故当p>1时，名收数即原级数能对收效当 0<p≤1时，∑m,发散，但由莱布尼茨定理知∑4，收敛，即原级数条件收敛：当p≤0时， lim”,≠0，原级数发散. 2)=lr丽-.雨-=+后2mw而 三发散，故由比较审敛法知三以发散。注意到三，收敛（满足莱布尼茨定理条件， 故原级数条件收敛。 e)=rM=于 p器 -*0+0r=e1 故由比值市敛法知空，发放。注意到一>1，回420，因此根级数发散 (-
外，如果取 1 ( 1)n n a n = − ，则可知 A，B 及 C 错误． 例 7 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） 1 1 ( 1)n p n n − = − ； （2） 1 ( 1) ( 1 ) n n n n = − + − ； （3） 1 1 ( 1) ( 1)! n n n n n + = − + ； （4） 2 ( 1) ( 1) n n n n = − + − ． 分析 这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴．判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成；若不 是，再判别该级数本身是否收敛．若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成；若它不满足莱布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性．值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若 1 ，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散． 解 （1） 1 ( 1)n n p u n − − = ， 1 n p u n = ．故当 p 1 时， 1 n n u = 收敛，即原级数绝对收敛；当 0 1 p 时， 1 n n u = 发散，但由莱布尼茨定理知 1 n n u = 收敛，即原级数条件收敛；当 p 0 时， lim 0 n n u → ，原级数发散． （2） ( 1) ( 1 ) n n u n n = − + − ， 1 1 1 1 2 n u n n n n n = + − = + + （ n → ），而 1 1 n 2 n = 发散，故由比较审敛法知 1 n n u = 发散．注意到 1 n n u = 收敛（满足莱布尼茨定理条件）， 故原级数条件收敛． （3） 1 ( 1) ( 1)! n n n n u n + = − + ， 1 ( 1)! n n n u n + = + ．由于 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1)! 1 ( 1) lim lim lim ( 2)! 2 n n n n n n n n n u n n n n u n n n n + + + → → → + + + + + + = = = + + 1 1 1 lim (1 )(1 ) 1 2 n n n e → n n n + = + + = + ， 故由比值审敛法知 1 n n u = 发散，注意到 1 lim 1 n n n u u + → ， lim 0 n n u → ，因此原级数发散． （4） 解法 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 = = [1 +o( )] ( 1) ( 1) 2 1+ n n n n n n n u n n n n n n − − − − = − + − − 3 ( 1) 1 ( 1) 1 = o( ) 2 n n n n n n − − − +
因为君条件收敛，级数空石和套白地对收数。，微服级监条件收效 解法2因为 点a=2 1 故级∑“，发散。（虽然原级数是交错级数，但不满足莱布尼茨定理条件，因此不能用莱布 尼茨定理来判别其收敛性)，下面用收敛定义来判别 .万万*店石*方店*+2mm =店方+店方+（方宏++（点园， 由此可见{5}是单调减少的。注意到 -万+万店后店万而+2m市 =-万+5F+(5石*+(2m=2+2m 故数列s.}有界，因而存在极限，不妨设m5.=5,又1im山=0，因此有 lims=lim()=s, 从而数列，}有极限m5,=5,即原级数条件收敛 例8设正项级数立a,与立4，均收敛，证明级数立点收敛. 证明正项级数立0，与立A均收敛，放由收敛级数的性质知级数立兰收敛。由 于a0.b0,则 5回63地. 由比较审敛法知级数5收敛 错误证明由于正项级数a,与6均收敛，故m。<1,一分<1
因为 2 ( 1)n n n = − 条件收敛，级数 3 2 1 n 2 n = 和 2 ( 1) 1 o( ) n n n n = − 绝对收敛，故原级数条件收敛． 解法 2 因为 ( 1) ( 1) n n n u n − = + − 1 ( 1) n n u n = + − 1 n 1 + 1 ( 2,3, ) 1 n n = + ， 故级 2 n n u = 发散．（虽然原级数是交错级数，但不满足莱布尼茨定理条件，因此不能用莱布 尼茨定理来判别其收敛性），下面用收敛定义来判别. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 4 7 6 2 1 2 n s n n = − + − + − + + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 4 7 6 2 1 2 n n = − + − + − + + − + ， 由此可见 2 { }n s 是单调减少的．注意到 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 1 n s n n = − + − + − + − − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 2 1 2 2 1 n n n = − + − + − + + − + − + 1 2 − ， 故数列 2 { }n s 有界，因而存在极限，不妨设 2 lim n n s s → = ．又 2 1 lim 0 n n u + → = ，因此有 2 1 2 2 1 lim lim( ) n n n n n s s u s + + → → = + = ， 从而数列 { }n s 有极限 lim n n s s → = ，即原级数条件收敛． 例 8 设正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，证明级数 1 n n n a b = 收敛． 证明 正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，故由收敛级数的性质知级数 1 2 n n n a b = + 收敛．由 于 >0, >0 n n a b ，则 2 2 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n a b a b a b + + = ， 由比较审敛法知级数 1 n n n a b = 收敛． 错误证明 由于正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，故 1 lim 1 n n n a a + → ， 1 lim 1 n n n b b + →