Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 求o,的矩阵形式 由i6。=6.6 =-i6.6出发 写成矩阵形式： :00-9 于是得到Pauli:算符的矩阵形式为： 从自旋算符与Pauli矩阵的关系得自旋算符的矩阵表示： 2
21 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 求σy 的矩阵形式 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z x y z x 由 出 i i σ = σ σ ⇒ = σ − σ σ 发 1 0 0 1 0 1 1 0 y σ i⎛ ⎞⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ 得： 0 0i i ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 于是得到Pauli算符的矩阵形式为： 0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i σ σ σ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ 从自旋算符与Pauli矩阵的关系得自旋算符的矩阵表示： 0 1 0 1 0 , , 2 2 1 0 0 2 0 1 x y z i S S S i ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ = = = 写成矩阵形式:
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles (四)含自旋波函数的归一化和几率密度 (1)归一化 电子波函数表示成矩阵形式：Φ= 4(f,t) y2G,0 波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即 小ooar-jeaCAar-jgF+lgs-l (2)几率密度 o(,t)=Φ+Φ=|必12+|y22 =01(f,t)+02(f,t) 表示t时刻在r点附近单 表示t时刻r点处 表示t时刻r点处单位 位体积内找到电子的几率 单位体积内找到自旋 体积内找到自旋 S,=/2的电子的几率 S,=-/2的电字的几率
22 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles (1)归一化 电子波函数表示成矩阵形式: ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ Φ = ( , ) ( , ) 21 r t r t GG ψψ 波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分,即 ( ) * * 1 1 2 2 ( , ) ( , ) r t d d r t ψ τ ψ ψ τ ψ + ⎛ ⎞ Φ Φ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ GG [| | | | ] 1 2 2 2 = 1 + = ∫ ψ ψ dτ (2)几率密度 = Φ Φ+ (r,t) G ω 2 2 2 1 =|ψ | + |ψ | ( , ) ( , ) 1 2 r t r t G G = ω +ω 表示 t 时刻在r点附近单 位体积内找到电子的几率 表示 t 时刻 r 点处 单位体积内找到自旋 Sz= =/2的电子的几率 表示t时刻r点处单位 体积内找到自旋 Sz= –=/2的电子的几率 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 在全空间找到Sz=/2的电子的几率： (F,t)di 在全空间找到Sz=-/2的电子的几率： 」o(,t)dx (五)自旋波函数 波函数： 般情况下，业1≠2，二者对 Φ (k,y,Z)的依赖是不一样的。 这是因为通常自旋S和轨道运动L之间是有相互作用的，所 以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作 用很小时，可以将其忽略，则业1、2对(x,y,2)的依赖一样， 即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式： 23
23 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles ω (r,t)dτ 1 G ∫ 在全空间找到Sz = =/2的电子的几率: ω (r,t)dτ 2 G ∫ 在全空间找到 Sz = – =/2 的电子的几率: 波函数: ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ Φ = 21 ψψ 这是因为通常自旋S和轨道运动L之间是有相互作用的，所 以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是,当这种相互作 用很小时,可以将其忽略,则ψ1、ψ2对(x, y, z)的依赖一样, 即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式： 一般情况下,ψ1 ≠ψ2,二者对 (x,y,z)的依赖是不一样的。 (五)自旋波函数
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles w(行，S,)=w(F,)(S)(忽略S-L的相互作用) 其中x(S)是S 的本征函数，称为自旋波函数。 求：自旋波函数x(S) 令 S的本征方程：S,S,)=±2(S,) (S)和x(S)分别为本征值 号和-的日定谈函爱即 5xs,)=2S:) x4s）=-2x-4S.) 因为S是2X2矩阵，所以在以S2、S,为对角矩阵的表象 内，12，七.2都应是2×1的列矩阵。 24
24 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 求：自旋波函数χ(Sz) SZ 的本征方程: ( ) 2 ( ) ˆ Szχ Sz χ Sz = = ± 令 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 z z χ χ S S − − = = 和 分别为本征值 和 的自旋波函数,即 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ = − = − − ( ) 2 ( ) ˆ ( ) 2 ( ) ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z z z S S S S S S χ χ χ χ = = 因为 Sz 是 2 ×2 矩阵，所以在以 S2、Sz 为对角矩阵的表象 内, χ1/2, χ-1/2 都应是2×1的列矩阵。 ( , , ) ( , ) ( ) ˆ ( ) z z z z r S t r t S S S ψ ψ χ χ = G G 其中 是 的本征函数，称为自旋波函数。 (忽略S-L的相互作用)
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 03 代入本征方程得： a, )〔-a）→(-）÷ 由归-化条件确定：么81→a卡1→4=1 所以 同可：x4 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交： 25
25 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 1 1 2 2 1 3 2 4 , a a a a χ χ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 代入本征方程得: ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − 21 21 0 1 2 1 0 2 aa a = a = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − 21 2 1 aa aa ⎩⎨⎧ == ⇒ 0 21 1 aa a 由归一化条件确定a1: ( ) 1 | | 1 1 0 0 1 1 * 1 1 = ⇒ = ⇒ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ a a a a 所以 1 2 1 , 0 χ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交: 1 1 ( ) 2 2 1 0 1 0 0 χ χ+ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 1 2 0 1 χ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 同理可证：