Ch.7 Spin and undistinguished similar particles (2)Pauli算符 1.为了书写方便起见，引进Paui算符： s 令 或 2 h -O 2 对易关系：3x3=心 → 6×6=2i洽 66,-6,6x=2i6 分量形式：{6,6-66，=2i6x 66-66=2i6 16
16 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles （2）Pauli 算符 1. 为了书写方便起见，引进 Pauli 算符: 令: 2 2 2 x x y y z z S S S σ σ σ ⎧ = ⎪⎪⎪⎨ = ⎪⎪ = ⎪⎩ = = = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S × = i S ⇒ σ ×σ σ = 2i G G G G G G 对易关系： = 或 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ x y y x z y z z y x z x x z y i i i σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎧ − = ⎪⎨ − = ⎪ − = ⎩ 分量形式： ˆ ˆ 2 S = σ G = G
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 因S,Sv,S,的本征值都是±/2， 所以o,·,o的本征值都是士1； 即 =2=o2=1 02,0y,0z2的本征值都是1。 2.反对易关系 基于σ的对易关系，可以证明 Gx+x=0 σ各分量之间满足反对易关系： 6,G+66,=0 66x+Gx6,=0 证： 我们从对易关系：G,6:-66y=2i6x出发 左乘oy 6,26:-6,6,6,=2i6,6 02=1 6.-6,66,=2i66x 17
17 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 因Sx,Sy,Sz的本征值都是±=/2, 所以σx,σy,σz的本征值都是±1; σ x 2 ,σy2,σZ2 的本征值都是1。 即: 1 2 2 2 = = = x y z σ σ σ 2. 反对易关系 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ + = + = + = ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 z x x z y z z y x y y x σ σ σ σ σ σ σ σ 基于σ的对易关系，可以证明 σ σ σ σ σ各分量之间满足反对易关系: 证： 我们从对易关系: y z z y x σˆ σˆ − σˆ σˆ = 2iσˆ 出发 左乘σy: y z y z y y x σˆ σˆ σˆ σˆ σˆ 2iσˆ σˆ 2 − = z y z y y x σ σ ˆ − σ ˆ σ ˆ σ ˆ = 2iσˆ σˆ y2=1
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 右乘oy 6,66,-66,2=2i66, 6,66,-6=2i66, 二式相加： G6,+6,6x=0 或 Gr=-G 同理可证：X,y分量的反对易关系亦成立.[证毕] 由对易关系和反 对易关系还可以得到 66,=-6,6x=i6 关于Pauli算符的如 6,6:=-66y=i6x 下非常有用性质： 66x=-66:=i6, 18
18 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 右乘σy: y z y z y x y σˆ σˆ σˆ σˆ σˆ 2iσˆ σˆ 2 − = y z y z x y σ ˆ σ ˆ σ ˆ −σ ˆ = 2iσˆ σˆ 二式相加： σˆ xσˆ y + σˆ yσˆ x = 0 σ xσ y σ yσ x ˆ ˆ = − ˆ ˆ 同理可证：x, y 分量的反对易关系亦成立. [证毕] 或 由对易关系和反 对易关系还可以得到 关于 Pauli算符的如 下非常有用性质: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − = = − = = − = z x x z y y z z y x x y y x z i i i σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 3.Pauli:算符的矩阵形式 根据定义： h 1 =S. 2 0-1 求Paui算符的其他两个分量 b 由反对易关系 6c d 6.6x=-6x6 a69）96】 -〔9→88 19
19 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles 3. Pauli算符的矩阵形式 根据定义： 1 0 1 0 ˆ ˆ 2 2 0 1 0 1 z z z σ σ S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ − = = 求 Pauli 算符的其他两个分量 令 ˆx a b c d σ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 由反对易关系 z x x z σˆ σˆ = −σˆ σˆ 1 0 1 0 0 1 0 1 a b a b c d c d ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ − ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ − ⎠ 得： a b a b c d c d ⎛ ⎞ ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ − ⎠ 00 ad⎧ = ⎨⎩ =
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles ox简化为： 由力学量算符厄密性： 成-÷08j=g0e8 得：b=c* (或c=b) -0d-e00 02=1 =1 |c2=1 这里有一个相位不定性，习惯上取=0， 20
20 Ch.7 Spin and undistinguished similar particles σ x 简化为: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 c b σ x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 * * 2 c c c c σ x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 0 | | | | 0 c c = I | | 1 2 ⇒ c = 0 0 1 0 1 0 i x i e e α α σ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 由力学量算符厄密性: * * 0 0 0 ˆ ˆ , 0 0 0 x x b b c c c b σ σ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇒ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 得:b = c * ( 或c = b * ) * 0 , 0 x c c σ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ σ x 2 = I 令：c=exp[ i α ], ( α 为实数), 则 这里有一个相位不定性,习惯上取 α = 0